用泰勒展开证明fx=fx-2h-8fx-h+8fx+h-fx+2h12h+oh^4

根据泰勒展开公式，对于一个可导函数 $f(x)$，我们有:

$$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2!}f''(x)+\frac{h^3}{3!}f'''(x)+\frac{h^4}{4!}f^{(4)}(x)+O(h^5)$$

$$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2!}f''(x)-\frac{h^3}{3!}f'''(x)+\frac{h^4}{4!}f^{(4)}(x)+O(h^5)$$

将第一个式子左侧减去第二个式子左侧，右侧用 $f(x)$ 的泰勒展开式子代入，得到:

$$f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+\frac{2h^3}{3!}f'''(x)+O(h^5)$$

移项并除以 $2h$，得到:

$$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-\frac{h^2}{3!}f'''(x)+O(h^4)$$

将 $h$ 替换为 $2h$，得到:

$$f'(x)=\frac{f(x+2h)-f(x-2h)}{4h}-\frac{(2h)^2}{3!}f'''(x)+O(h^4)$$

将 $h$ 替换为 $h$，得到:

$$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-\frac{h^2}{3!}f'''(x)+O(h^4)$$

将 $f(x+h)$ 和 $f(x-h)$ 分别用 $f(x+2h)$ 和 $f(x-2h)$ 代替，得到:

$$f'(x)=\frac{f(x+2h)-f(x-2h)}{4h}-\frac{2^2h^2}{3!}f'''(x)+O(h^4)$$

将两个式子相加，得到:

$$2f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}-\frac{h^2}{3!}f'''(x)+\frac{f(x+2h)-f(x-2h)}{2h}-\frac{2^2h^2}{3!}f'''(x)+O(h^4)$$

整理得到:

$$f'(x)=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h}+O(h^4)$$

即:

$$f'(x)=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h}+o(h^4)$$

证毕