证明fx=fx-2h-8fx-h+8fx+h-fx+2h12h+oh^4

由泰勒公式，对于$x$附近的任意$h$，有：

$$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\frac{h^3}{6}f'''(x)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\xi_1)$$

$$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)-\frac{h^3}{6}f'''(x)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\xi_2)$$

$$f(x+2h)=f(x)+2hf'(x)+2h^2f''(x)+\frac{4h^3}{3}f'''(x)+\frac{2h^4}{3}f^{(4)}(\xi_3)$$

$$f(x-2h)=f(x)-2hf'(x)+2h^2f''(x)-\frac{4h^3}{3}f'''(x)+\frac{2h^4}{3}f^{(4)}(\xi_4)$$

其中$\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$均在$x-h$和$x+h$之间。

将上式相加减，得到：

$$f(x+h)+f(x-h)-2f(x)=h^2f''(x)+\frac{h^4}{12}[f^{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_2)]$$

$$f(x+2h)+f(x-2h)-2f(x)=4h^2f''(x)+\frac{4h^4}{3}[f^{(4)}(\xi_3)+f^{(4)}(\xi_4)]$$

将第一个式子乘以$4$，第二个式子乘以$-1$，再相加，得到：

$$4[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]-[f(x+2h)+f(x-2h)-2f(x)]=3h^2f''(x)+\frac{2h^4}{3}[f^{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_2)+f^{(4)}(\xi_3)+f^{(4)}(\xi_4)]$$

移项并除以$12h$，得到：

$$\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h}=f'(x)-\frac{h^2}{3}f''(x)-\frac{h^4}{90}[f^{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_2)+f^{(4)}(\xi_3)+f^{(4)}(\xi_4)]$$

由于$f^{(4)}$是连续函数，故存在常数$M$，使得$|f^{(4)}(x)|\leq M$。因此，$|\frac{h^4}{90}[f^{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_2)+f^{(4)}(\xi_3)+f^{(4)}(\xi_4)]|\leq\frac{Mh^4}{22.5}$。所以，当$h\rightarrow 0$时，$\frac{h^4}{90}[f^{(4)}(\xi_1)+f^{(4)}(\xi_2)+f^{(4)}(\xi_3)+f^{(4)}(\xi_4)]$的阶为$o(h^4)$。

因此，当$h\rightarrow 0$时，有：

$$f'(x)=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h}+o(h^4)$$

证毕