计算二重积分 e^x^2-y^2 其中 D 是中心在原点半径为 2 的 圆周所围成的闭区域请将该积分解析解数值型赋值给变量 jie_jbcz13。给出Matlab求解代码

由于被积函数 $e^{x^2-y^2}$ 对 $x$ 和 $y$ 都有偶性，且积分区域关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称，因此有 $$ \iint_D e^{x^2-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 4\iint_{D_1} e^{x^2-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y, $$ 其中 $D_1$ 表示 $D$ 中第一象限部分，即 ${(x,y)|0\le x^2+y^2\le 4,x>0,y>0}$。做变量代换 $u=x+y,v=x-y$，则 $x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2}$，且雅可比式为 $J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}=\frac{1}{2}$，因此有 \begin{align*} \iint_{D_1} e^{x^2-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \frac{1}{2}\iint_{D_2} e^{\frac{u^2+v^2}{2}} \mathrm{d}u\mathrm{d}v \ &= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 e^{\frac{r^2}{2}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \ &= \frac{1}{2}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\right)\left(\int_0^2 e^{\frac{r^2}{2}}r\mathrm{d}r\right) \ &= \left(\frac{\pi}{4}\right)\left([e^{r^2/2}]_0^2\right) \ &= \frac{\pi}{2}(e^2-1). \end{align*} 因此，有 jie_jbcz13=1.8691。

Matlab 求解代码：

fun=@(x,y) exp(x.^2-y.^2); % 定义被积函数
jie_jbcz13=4*integral2(fun,0,sqrt(4-x.^2),'0',@(x) sqrt(4-x.^2),-2,2); % 积分计算
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