点电荷q位于一边长为a的立方体中心试求在该点电荷电场中穿过立方体1个面的电通量；将其移到该立方体的一个顶点上这时穿过立方体各个面的电通量又是多少？

1. 在立方体中心的电通量：

根据高斯定理，立方体1个面的电通量为：

$\Phi_E = \int \vec{E} \cdot \vec{dS}$

由于立方体对称性，电场在任意一对相对的面上的方向相反，因此只需计算其中一对相对的面。

设选取的面为立方体的一个底面，面积为$S=a^2$，电场在这个面上的方向垂直于面，大小为：

$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{a^2}$

根据高斯定理，穿过这个面的电通量为：

$\Phi_E = \int_S \vec{E} \cdot \vec{dS} = E S = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{a^2}a^2=q/\epsilon_0$

因此，在立方体中心的电通量为$q/\epsilon_0$。

2. 在立方体顶点的电通量：

将电荷移到立方体的一个顶点上，此时电荷所在位置距离立方体各个面的距离不相等，因此穿过各个面的电通量也不相等。

设选取的面为立方体的一个底面，面积为$S=a^2$，电场在这个面上的方向垂直于面，大小为：

$E_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{(2a)^2}=\frac{1}{16\pi\epsilon_0}\frac{q}{a^2}$

设选取的面为立方体的一个侧面，面积为$S=a^2$，电场在这个面上的方向垂直于面，大小为：

$E_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\sqrt{a^2+(2a)^2}^2}=\frac{1}{20\pi\epsilon_0}\frac{q}{a^2}$

根据高斯定理，穿过底面的电通量为：

$\Phi_E = \int_S \vec{E}_1 \cdot \vec{dS} = E_1 S = \frac{1}{16\pi\epsilon_0}\frac{q}{a^2}a^2=q/16\epsilon_0$

穿过侧面的电通量为：

$\Phi_E = \int_S \vec{E}_2 \cdot \vec{dS} = E_2 S = \frac{1}{20\pi\epsilon_0}\frac{q}{a^2}a^2=q/20\epsilon_0$

因此，在立方体顶点的电通量分别为$q/16\epsilon_0$和$q/20\epsilon_0$