18 本题满分12分已知曲线y= fx在任意点处的切线的斜率为ax2- 3x-6且r=- 1时 y=112是极值试确定 fx并求fx的极小值

根据题意，曲线的斜率为 $ax^2-3x-6$，则曲线的导函数为 $f'(x)=ax^2-3x-6$。对导函数求积分，得到原函数 $f(x)=\frac{a}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2-6x+C$，其中 $C$ 为常数。

又因为 $y=11/2$ 是极值，所以 $f'(x)=ax^2-3x-6=0$ 的两个根 $x_1,x_2$ 满足 $f(x_1)=f(x_2)=11/2$。根据韦达定理，$x_1+x_2=\frac{3}{a}$，$x_1x_2=-\frac{2}{a}$。

因为 $f(x)$ 是偶函数，所以只需要考虑 $x>0$ 的情况。设 $x_1,x_2$ 分别为 $x_0$ 的左右两个交点，即 $f(x_0)=11/2$。则有：

$$\begin{aligned}f(x_0)&=\frac{a}{3}x_0^3-\frac{3}{2}x_0^2-6x_0+C\ &=\frac{a}{3}(x_1^3+x_2^3)-(x_1^2+x_2^2)x_0+2x_1x_2+C\ &=\frac{a}{3}\left[(x_1+x_2)^3-3(x_1+x_2)x_1x_2+(x_1x_2)^3\right]\ &\quad -(x_1^2+x_2^2)x_0+2x_1x_2+C\ &=\frac{a}{3}\left[\frac{27}{a^3}-\frac{54}{a}\right]-\left[\left(x_0-\frac{3}{a}\right)^2-\frac{18}{a}\right]\cdot x_0+2\left(-\frac{2}{a}\right)+C\ &=11/2 \end{aligned}$$

化简后得到：

$$\frac{a^2}{3}x_0^3-3ax_0^2+3x_0+6=0$$

解出 $x_0$，代入 $f(x)$ 中，得到极小值：

$$f(x_0)=\frac{a}{3}x_0^3-\frac{3}{2}x_0^2-6x_0+C=\frac{11}{2}$$

解得 $x_0=\frac{3+\sqrt{21}}{2a}$，代入得到：

$$f(x_0)=\frac{11+\sqrt{21}}{2}$$

因为要求极小值，所以 $f(x_0)$ 取最小值 $\frac{11-\sqrt{21}}{2}$。代入上式解得 $a=-\frac{2}{\sqrt{21}}$。

因此，$f(x)=\frac{1}{\sqrt{21}}x^3-\frac{3}{\sqrt{21}}x^2-6x+C$，其中 $C$ 为常数，$f(x)$ 的极小值为 $\frac{11-\sqrt{21}}{2}$