给出线性方程组问题描述案例并能用直接三角分解法求解

问题描述：

一个农场家庭拥有马、猪和鸡三种动物。他们一共有48个头，而且总的腿数是156只。问这个家庭分别有多少马、猪和鸡？

解法：

设马的头数为x，猪的头数为y，鸡的头数为z。由题意可得：

x+y+z=48

马的腿数为4x，猪的腿数为4y，鸡的腿数为2z。总腿数为156，因此：

4x+4y+2z=156

以上两个方程组成的线性方程组可以用直接三角分解法求解。将系数矩阵和常数向量写成增广矩阵的形式：

$$\begin{bmatrix}1&1&1\4&4&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}48\156\end{bmatrix}$$

对增广矩阵进行行变换，将其化为上三角矩阵：

$$\begin{bmatrix}1&1&1&48\4&4&2&156\end{bmatrix}\xrightarrow[R_2-4R_1]{R_2\leftrightarrow R_1}\begin{bmatrix}4&4&2&156\1&1&1&48\end{bmatrix}\xrightarrow[R_2-R_1]{R_1\leftrightarrow R_2}\begin{bmatrix}1&1&1&48\0&0&-2&-108\end{bmatrix}$$

由此可得：

z=54

将z的值代入第一个方程中，可得：

x+y=48-54=-6

显然这个方程无解。因此原方程组无解，这个问题没有实际意义