请使用01背包问题任务分配问题资源分别问题写一个报告要求有c语言代码实现和分析

一、0/1背包问题

1.问题描述：

有一个容量为V的背包和N个物品，每个物品有一个重量w和一个价值v。现在要从这N个物品中选择一些物品放入背包中，使得在不超过背包容量的前提下，背包中物品的总价值最大。

2.算法实现：

使用动态规划的思想，设dp[i][j]表示前i个物品中，在不超过j的容量下，能够获得的最大价值。则有以下状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

3.代码实现：

int max(int a, int b) { return a > b ? a : b; }

int knapsack(int W, int N, int *w, int *v) { int **dp = (int **)malloc((N+1) * sizeof(int *)); for(int i = 0; i <= N; i++) { dp[i] = (int *)malloc((W+1) * sizeof(int)); }

for(int i = 0; i <= W; i++)
{
    dp[0][i] = 0;
}

for(int i = 1; i <= N; i++)
{
    dp[i][0] = 0;
    for(int j = 1; j <= W; j++)
    {
        if(j < w[i-1])
        {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
        else
        {
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);
        }
    }
}

int result = dp[N][W];

for(int i = 0; i <= N; i++)
{
    free(dp[i]);
}
free(dp);

return result;

}

4.算法分析：

时间复杂度为O(NW)，空间复杂度为O(NW)。该算法可以解决一般的0/1背包问题，但无法解决背包中物品可以分割的分数背包问题。

二、任务分配问题

1.问题描述：

有N个任务需要分配给N个人完成，每个人只能完成一个任务，每个任务需要的时间和每个人完成任务的能力不同。现在要找到一种最优的分配方案，使得任务完成的时间最短。

2.算法实现：

使用匈牙利算法，从每个人出发，尝试匹配尚未分配任务的任务，如果能够匹配则继续匹配下一个人，否则就回溯到上一个人重新匹配。具体实现如下：

bool dfs(int u, int N, int *match, int **graph, bool *vis) { for(int i = 0; i < N; i++) { if(graph[u][i] && !vis[i]) { vis[i] = true; if(match[i] == -1 || dfs(match[i], N, match, graph, vis)) { match[i] = u; return true; } } } return false; }

int hungarian(int N, int *p, int *t) { int **graph = (int **)malloc(N * sizeof(int *)); for(int i = 0; i < N; i++) { graph[i] = (int *)calloc(N, sizeof(int)); for(int j = 0; j < N; j++) { if(p[i] >= t[j]) { graph[i][j] = 1; } } }

int *match = (int *)malloc(N * sizeof(int));
memset(match, -1, N * sizeof(int));

int result = 0;
for(int i = 0; i < N; i++)
{
    bool *vis = (bool *)calloc(N, sizeof(bool));
    if(dfs(i, N, match, graph, vis))
    {
        result++;
    }
    free(vis);
}

for(int i = 0; i < N; i++)
{
    free(graph[i]);
}
free(graph);
free(match);

return result;

}

3.算法分析：

时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。算法可以解决一般的任务分配问题，但无法解决任务时间可以被压缩的问题。

三、资源分配问题

1.问题描述：

有M个资源需要分配给N个任务完成，每个任务需要的资源不同，每个资源可以同时分配给多个任务，但有一个上限。现在要找到一种最优的分配方案，使得任务完成的时间最短。

2.算法实现：

使用网络流的思想，将资源和任务分别看作源点和汇点，资源到任务之间的边表示资源可以分配给任务的数量。具体实现如下：

int **build_graph(int M, int N, int *limit, int **resource) { int **graph = (int **)malloc((M+N+2) * sizeof(int *)); for(int i = 0; i < M+N+2; i++) { graph[i] = (int *)calloc(M+N+2, sizeof(int)); }

for(int i = 1; i <= M; i++)
{
    graph[0][i] = limit[i-1];
}

for(int i = 1; i <= N; i++)
{
    graph[M+i][M+N+1] = 1;
    for(int j = 1; j <= M; j++)
    {
        if(resource[j-1][i-1] > 0)
        {
            graph[j][M+i] = resource[j-1][i-1];
        }
    }
}

return graph;

}

int bfs(int **graph, int M, int N, int *path) { bool *vis = (bool *)calloc(M+N+2, sizeof(bool)); queue q; q.push(0); vis[0] = true; path[0] = -1;

while(!q.empty())
{
    int u = q.front();
    q.pop();

    for(int v = 0; v <= M+N+1; v++)
    {
        if(!vis[v] && graph[u][v])
        {
            q.push(v);
            vis[v] = true;
            path[v] = u;
        }
    }
}

int result = graph[path[M+N+1]][M+N+1];
for(int v = M+N+1; v != 0; v = path[v])
{
    int u = path[v];
    result = min(result, graph[u][v]);
    graph[u][v] -= result;
    graph[v][u] += result;
}

free(vis);
return result;

}

int max_flow(int M, int N, int *limit, int **resource) { int **graph = build_graph(M, N, limit, resource);

int *path = (int *)malloc((M+N+2) * sizeof(int));
int result = 0;
while(bfs(graph, M, N, path) > 0)
{
    result++;
}

for(int i = 0; i < M+N+2; i++)
{
    free(graph[i]);
}
free(graph);
free(path);

return result;

}

3.算法分析：

时间复杂度为O(M^2N^2)，空间复杂度为O(M^2)。算法可以解决一般的资源分配问题，但无法解决资源可以共享的问题