用二分法、迭代法求解方程x^3-2x-5=0的近似根

(1) 二分法求方程x^3-2x-5=0在[2,3]上的近似根。

首先，计算方程在区间两个端点的函数值： f(2) = 2^3 - 22 - 5 = -5 f(3) = 3^3 - 23 - 5 = 13

由于f(2)和f(3)异号，根据零点定理，方程在区间[2,3]上至少存在一个根。

接下来，进行二分法迭代计算：

第一次迭代： 取中点 x1 = (2+3)/2 = 2.5 f(x1) = 2.5^3 - 2*2.5 - 5 = 2.375 由于f(2.5)与f(2)异号，所以根位于[2.5,3]之间。

第二次迭代： 取中点 x2 = (2.5+3)/2 = 2.75 f(x2) = 2.75^3 - 2*2.75 - 5 = -0.546875 由于f(2.75)与f(2)同号，所以根位于[2,2.75]之间。

第三次迭代： 取中点 x3 = (2+2.75)/2 = 2.375 f(x3) = 2.375^3 - 2*2.375 - 5 = -1.208984375 由于f(2.375)与f(2)同号，所以根位于[2,2.375]之间。

第四次迭代： 取中点 x4 = (2+2.375)/2 = 2.1875 f(x4) = 2.1875^3 - 2*2.1875 - 5 = -0.126953125 由于f(2.1875)与f(2)同号，所以根位于[2,2.1875]之间。

第五次迭代： 取中点 x5 = (2+2.1875)/2 = 2.09375 f(x5) = 2.09375^3 - 2*2.09375 - 5 = 0.214599609375 由于f(2.09375)与f(2)异号，所以根位于[2,2.09375]之间。

误差为根的近似值与真实值之差的绝对值。根的真实值为x ≈ 2.094551481542327，所以误差为 |2.09375 - 2.094551481542327| ≈ 0.000801481542327。

(2) 已知方程x^3-2x-5=0有根区间为[2,3]，迭代函数取x=power(5+2x,1/3)，取x0=2.5。

进行迭代计算：

第一次迭代： x1 = power(5 + 2*2.5, 1/3) = 2.5155644370746366 误差为 |2.5155644370746366 - 2.094551481542327| ≈ 0.4210129555323096

第二次迭代： x2 = power(5 + 2*2.5155644370746366, 1/3) = 2.0945681212852443 误差为 |2.0945681212852443 - 2.094551481542327| ≈ 1.6639832896942836e-05

第三次迭代： x3 = power(5 + 2*2.0945681212852443, 1/3) = 2.09455148154233 误差为 |2.09455148154233 - 2.094551481542327| ≈ 2.220446049250313e-16

第四次迭代： x4 = power(5 + 2*2.09455148154233, 1/3) = 2.094551481542327 误差为 |2.094551481542327 - 2.094551481542327| = 0

第五次迭代： x5 = power(5 + 2*2.094551481542327, 1/3) = 2.094551481542327 误差为 |2.094551481542327 - 2.094551481542327| = 0

可以看到，从第三次迭代开始，迭代值与真实值之间的误差趋于0，说明使用该迭代函数收敛到方程的根。

(3) 如果迭代函数取下列形式：x=(x^3-5)/2；x=5/(x^2-2)。

对于第一个迭代函数，x=(x^3-5)/2，我们可以观察到以下情况：

如果初始值x0=2，迭代结果如下： x1 = (2^3-5)/2 = 1.5 x2 = (1.5^3-5)/2 = 0.375 x3 = (0.375^3-5)/2 = -1.82421875 ...

可以看到，迭代结果并不收敛，而是发散。

对于第二个迭代函数，x=5/(x^2-2)，我们可以观察到以下情况：

如果初始值x0=2，迭代结果如下： x1 = 5/(2^2-2) = 5/2 = 2.5 x2 = 5/(2.5^2-2) = 5/3.25 = 1.5384615384615385 x3 = 5/(1.5384615384615385^2-2) = 5/(-0.5384615384615385) = -9.285714285714286 ...

可以看到，迭代结果同样并不收敛，而是发散。

综上所述，这两个迭代函数都不具有收敛性。