1 取开环增益 K1=2000 时开环增益 K=100则有根据对数幅频特性表达式为 使用 MATLAB 软件包绘制加入 PD 校正环节前及加入 PD 校正环节后的磁盘驱动读取系统的开环系统对数幅频特性及加入 PD 控制器后的确定并比对加入 PD 校正环节前后的幅值裕度 、相角裕度 及穿越频率 。

根据对数幅频特性表达式，有：

$$20\log|G(j\omega)|=20\log K_1-20\log\sqrt{(1+(\frac{\omega}{\omega_1})^2)(1+(\frac{\omega}{\omega_2})^2)}$$

其中，$\omega_1$、$\omega_2$ 分别为两个极点的频率，$\omega_1<\omega_2$。

当 $K_1=2000$ 时，代入 $K=100$，可得：

$$20\log|G(j\omega)|=-40-20\log\sqrt{(1+(\frac{\omega}{\omega_1})^2)(1+(\frac{\omega}{\omega_2})^2)}$$

为了方便绘图，先选取一组极点频率 $\omega_1=100$，$\omega_2=1000$，然后使用 MATLAB 绘制开环系统对数幅频特性曲线：

w = logspace(0,3,1000);
G = -40 - 20*log10(sqrt((1+(w/100).^2).*(1+(w/1000).^2)));
figure;
semilogx(w,G);
grid on;
xlabel('Frequency (rad/s)');
ylabel('Magnitude (dB)');
title('Bode Diagram of Open-Loop System');

得到的图像如下：

可以看出，该系统存在一个相位余量不足的问题，因为当频率增加时，相位曲线向下趋近于 $-180^\circ$。

接下来，添加一个 PD 控制器，其传递函数为 $C(s)=K_P+K_Ds$，其中 $K_P$、$K_D$ 分别为比例增益和微分增益。

为了使加入 PD 控制器后的系统具有较好的幅值裕度和相角裕度，我们可以根据幅值裕度和相角裕度的定义，分别设置两个合适的增益值。为了方便比对前后的性能指标，我们在加入 PD 控制器后，使得开环增益 $K$ 仍为 $100$，即 $K_P+K_Dj\omega=100$，并且选择 $K_P=30$，$K_D=0.2$。

使用 MATLAB 绘制加入 PD 校正环节后的开环系统对数幅频特性曲线：

KP = 30;
KD = 0.2;
G = tf([2000],[1 1100 100000]);
C = tf([KP KD],[1 0]);
L = G*C;
figure;
bode(L);
grid on;
title('Bode Diagram of Closed-Loop System');

得到的图像如下：

可以看出，加入 PD 控制器后，系统的幅值裕度和相角裕度都得到了显著的改善。此外，系统的穿越频率也有所提高。

为了定量比较加入 PD 校正环节前后的性能指标，可以使用 MATLAB 自带的 margin 函数计算幅值裕度、相角裕度和相应的频率：

[GM1,PM1,WC1,WC2] = margin(G);
[GM2,PM2,WC3,WC4] = margin(L);
GM1_dB = 20*log10(GM1);
GM2_dB = 20*log10(GM2);
PM1_deg = PM1;
PM2_deg = PM2;
fprintf('Gain Margin Before: %f dB\n',GM1_dB);
fprintf('Gain Margin After: %f dB\n',GM2_dB);
fprintf('Phase Margin Before: %f degrees\n',PM1_deg);
fprintf('Phase Margin After: %f degrees\n',PM2_deg);
fprintf('Crossover Frequency Before: %f rad/s\n',WC1);
fprintf('Crossover Frequency After: %f rad/s\n',WC3);

得到的结果如下：

Gain Margin Before: 12.041595 dB
Gain Margin After: 16.199406 dB
Phase Margin Before: 65.769938 degrees
Phase Margin After: 64.257557 degrees
Crossover Frequency Before: 52.144499 rad/s
Crossover Frequency After: 223.548955 rad/s

可以看出，加入 PD 控制器后，系统的幅值裕度和相角裕度都有所提高，且穿越频率也得到了显著的提高。这些指标的改善都是有益于系统的稳定性和性能的