高斯积分公式推导详解：从定义到结果

高斯积分公式的推导详解：从定义到结果

高斯积分（Gaussian integral），也称为概率积分，在概率论、连续傅里叶变换以及其他领域中有着广泛的应用。它在误差函数的定义中也出现。尽管误差函数没有初等函数表达式，但我们可以通过微积分的手段解析地求解高斯积分。

1. 定义和近似函数

高斯积分的定义如下：

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

为了推导出这个结果，我们首先定义一个近似函数，即高斯分布函数：

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

其中：

• $\mu$ 代表高斯分布的均值
• $\sigma$ 代表高斯分布的标准差

2. 利用极限求解

高斯积分可以通过它的极限来求解：

$$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx$$

3. 富比尼定理和面积积分

为了简化求解，我们考虑高斯积分的平方：

$$I^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy$$

根据富比尼定理，以上的双重积分可以被看作是直角坐标系上一个正方形的面积积分，其中顶点为 $(-a, a), (a, a), (a, -a), (-a, -a)$。

4. 极坐标转换

为了进一步简化计算，我们使用极坐标转换：

$$x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$$

雅可比行列式为：

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)} = \begin{vmatrix} \cos{\theta} & -r\sin{\theta} \ \sin{\theta} & r\cos{\theta} \end{vmatrix} = r$$

因此，双重积分可以写成：

$$I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr d\theta$$

5. 求解积分

对 $r$ 进行积分，得到：

$$I^2 = \int_{0}^{2\pi} \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]{0}^{\infty} d\theta = \int{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \pi$$

因此，高斯积分的结果为：

$$I = \sqrt{\pi}$$

6. 参数a的影响

参数a用来控制高斯分布的“宽窄”程度。当a越小，高斯分布越宽，当a越大，高斯分布越窄。

总结

高斯积分的推导过程涉及到极限、富比尼定理、极坐标转换等数学工具。通过这些步骤，我们成功地求解了高斯积分的闭合形式，并理解了参数a对高斯分布的影响。高斯积分在数学、物理、统计学等领域都有着重要的应用。

注意： 本文仅介绍了高斯积分的一种推导方法，其他方法还有很多。你可以根据自己的需求选择合适的推导方法。