一根长1米的45号钢屈服强度为355MPa的圆管两端各受800Nm的弯曲力矩而达到平衡请问圆管的内外径为多少时圆管能承受该力矩的同时使圆管重量最轻。

根据弯曲理论，圆管的弯曲应力为 $$ \sigma=\frac{M}{W}y $$ 其中，$M$为弯曲力矩，$W$为截面模量，$y$为距离中心轴线的距离。

对于圆管而言，内外径分别为$d_i$和$d_o$，截面模量为 $$ W=\frac{\pi}{4}(d_o^4-d_i^4) $$ 将屈服强度代入弯曲应力公式可得 $$ \frac{M}{W}y\leq\frac{\sigma_y}{n} $$ 其中，$\sigma_y$为屈服强度，$n$为安全系数。

将题目中的数据代入可得 $$ \frac{800}{\frac{\pi}{64}(d_o^4-d_i^4)}\frac{d_o}{2}\leq\frac{355\times10^6}{4} $$ 化简可得 $$ d_o^4-d_i^4\geq\frac{64\times800\times2}{\pi}\times\frac{4}{355\times10^6}\times2 $$ $$ d_o^4-d_i^4\geq0.00032 $$

由于要使圆管重量最轻，可以假设圆管为均匀圆筒壳，其重量为 $$ m=\rho\pi h(d_o^2-d_i^2) $$ 其中，$\rho$为材料密度，$h$为圆管长度。

将$h=1m$代入，对$m$求导可得 $$ \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}d_o}=\rho\pi(2d_o-2d_i) $$ 令$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}d_o}=0$，可得 $$ d_i=d_o\sqrt{\frac{1}{2}} $$

将$d_i=d_o\sqrt{\frac{1}{2}}$代入$d_o^4-d_i^4\geq0.00032$，可得 $$ d_o\geq0.0633m $$

因此，圆管的内径和外径分别为$d_i=0.045m$和$d_o=0.0633m$时，能承受800N.m的弯曲力矩的同时，使圆管重量最轻