求函数fx=√x 在x0=4点的三阶泰勒公式。请用latex转出后格式回答我

函数$f(x)=\sqrt{x}$在$x_0=4$点的三阶泰勒公式为：

[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 ]

首先，求函数$f(x)=\sqrt{x}$在$x_0=4$点的一阶、二阶和三阶导数。

一阶导数： [ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} ] 代入$x_0=4$，得到 [ f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} ]

二阶导数： [ f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} ] 代入$x_0=4$，得到 [ f''(4) = -\frac{1}{4 \cdot 4 \cdot \sqrt{4}} = -\frac{1}{32} ]

三阶导数： [ f'''(x) = \frac{3}{8x^{5/2}} ] 代入$x_0=4$，得到 [ f'''(4) = \frac{3}{8 \cdot 4^{5/2}} = \frac{3}{128} ]

将以上导数代入泰勒公式，得到 [ f(x) = \sqrt{4} + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{32}(x-4)^2 + \frac{1}{128}(x-4)^3 \