求函数fx=√x 在x0=4点的三阶泰勒公式。请用latex格式回答我

泰勒公式是用多项式来逼近函数的方法，三阶泰勒公式可以表示为：

[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 ]

对于给定的函数 ( f(x) = \sqrt{x} )，我们需要求得一阶、二阶和三阶导数。

一阶导数：

[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} ]

二阶导数：

[ f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} ]

三阶导数：

[ f'''(x) = \frac{3}{8x^2\sqrt{x}} ]

将 ( x_0 = 4 ) 代入上述公式，可以得到三阶泰勒公式为：

[ f(x) = \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}(x - 4) - \frac{1}{4\cdot4\sqrt{4}}(x - 4)^2 + \frac{3}{8\cdot4^2\sqrt{4}}(x - 4)^3 ]

化简后可得：

[ f(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) - \frac{1}{32}(x - 4)^2 + \frac{3}{256}(x - 4)^3 \