群论的基本体系

群论是一门数学分支，研究代数结构中的群及其性质。群论的基本体系包括以下几个方面：

1. 群的定义：群是一个集合G，配合一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。

2. 子群：如果一个集合H是群G的子集，并且在相同的二元运算下也构成一个群，则称H为G的子群。

3. 群同态：给定两个群G和H，如果存在一个映射f：G→H，满足f(xy) = f(x)f(y)对于所有的x、y属于G成立，则称f为从G到H的群同态。

4. 群的同构：如果存在一个双射f：G→H，且f(xy) = f(x)f(y)对于所有的x、y属于G成立，则称G和H是同构的，记作G≅H。

5. 群的性质：群的性质包括群元素的阶、循环群、正规子群、商群、陪集等。

6. 群的分类：群论的一个重要问题是对群的分类，即找到所有不同的群，并将它们分为不同的等价类。例如，有限群的分类定理给出了有限群的所有不同的同构类。

7. 群的作用：群论研究群在其他数学结构上的作用，如群在集合上的作用、群在向量空间上的作用等。

总之，群论的基本体系包括群的定义、子群、群同态、群的同构、群的性质、群的分类和群的作用等内容。这些概念和方法构成了群论的基础，为研究群及其应用提供了理论基础