怎么证明这个结论rankCP X = 1=rankX1=1即若X是任意d阶对称张量则张量CP秩为一构成的集合等于张量模一展开秩为一构成的集合

要证明这个结论，需要证明两个方向的包含关系：

1. 若X的CP秩为1，则X的模一展开秩为1。
2. 若X的模一展开秩为1，则X的CP秩为1。

首先证明第一个方向：

假设X的CP秩为1，即存在一个秩为1的矩阵A和向量b，使得X = A ⊗ b。

将X的模一展开表示为X(1) = ∑(i1,...,id) X[i1,...,id] ⊗ e[i1] ⊗ ... ⊗ e[id]，其中e[i]表示第i个标准正交向量。

将X表示为X = A ⊗ b，则有X[i1,...,id] = A[i1,...,id] * b[i1] * ... * b[id]。 将X(1)中的每一项代入X的表示式中，得到：

X(1) = ∑(i1,...,id) A[i1,...,id] * b[i1] * ... * b[id] ⊗ e[i1] ⊗ ... ⊗ e[id]

考虑模一展开的秩为1，即X(1) = C ⊗ d，其中C是一个秩为1的矩阵，d是一个向量。

对比上面的展开式，可以看出，秩为1的矩阵C和向量d可以分别表示为：

C = ∑(i1,...,id) A[i1,...,id] * b[i1] * ... * b[id] d = e[i1] ⊗ ... ⊗ e[id]

因此，X的CP秩为1时，X的模一展开秩也为1。

接下来证明第二个方向：

假设X的模一展开秩为1，即存在一个秩为1的矩阵C和向量d，使得X(1) = C ⊗ d。

考虑张量X的模一展开表示式X(1) = ∑(i1,...,id) X[i1,...,id] ⊗ e[i1] ⊗ ... ⊗ e[id]。

将X(1)的表示式代入上面的等式中，得到：

∑(i1,...,id) X[i1,...,id] ⊗ e[i1] ⊗ ... ⊗ e[id] = C ⊗ d

对比上式，可以得到：

X[i1,...,id] = C[i1,...,id] * d[i1] * ... * d[id]

因此，X的模一展开秩为1时，X的CP秩也为1。

综上所述，可以证明{rankCP (X ) = 1}={rank（X(1)）=1}