一个体系的自旋角动量量子数和磁量子数分别为 S m 同时定义$S^pm = S_x pm i S_y$ 则容易得出：$S^pm ketSm = sqrtS mp m Spm m +1ketSmpm 1$ 。知道玻色子湮灭和产生算符有如下关系式：$aketn = sqrtn+1 ketn-1 a^daggerketn= sqrtn+1ketn+1 n = a^dagger a$。由上述结果计算铁磁

铁磁体的哈密顿量可以写为：

$H = -J \sum_{i,j} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j - g \mu_B \sum_i \vec{S}_i \cdot \vec{B}$

其中，$J$ 是交换耦合常数，$\vec{S}_i$ 是第 $i$ 个自旋算符，$g$ 是朗德因子，$\mu_B$ 是玻尔磁子，$\vec{B}$ 是外磁场。

我们考虑在零外磁场下的情况。在单点激发情况下，只有一个自旋发生了变化，其他自旋保持不变。假设激发发生在第 $i$ 个自旋上，那么可以将哈密顿量表示为：

$H = H_0 - J \sum_{j \neq i} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j$

其中，$H_0$ 是不包含第 $i$ 个自旋的部分，可以看作是常数。我们对这个哈密顿量进行近似处理，将交换耦合项展开到二阶。考虑到自旋算符的对易关系，可以得到：

$\vec{S}_i \cdot \vec{S}_j \approx \frac{1}{2}(S_i^+ S_j^- + S_i^- S_j^+ ) + S_i^z S_j^z$

所以，哈密顿量可以近似为：

$H \approx H_0 - \frac{J}{2} \sum_{j \neq i} (S_i^+ S_j^- + S_i^- S_j^+ ) - J \sum_{j \neq i} S_i^z S_j^z$

注意到，第二项中的 $S_i^+ S_j^-$ 和 $S_i^- S_j^+$ 会改变自旋的量子数 $m$，而第三项中的 $S_i^z S_j^z$ 不会改变 $m$。所以，只有第二项对激发能量的贡献才会产生量子数的变化。

考虑到自旋算符的定义，可以将 $S_i^+ S_j^-$ 展开为：

$S_i^+ S_j^- = (S_i^x + i S_i^y)(S_j^x - i S_j^y) = S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y + i(S_i^x S_j^y - S_i^y S_j^x)$

同理，可以将 $S_i^- S_j^+$ 展开为：

$S_i^- S_j^+ = S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y - i(S_i^x S_j^y - S_i^y S_j^x)$

所以，可以得到：

$\vec{S}_i \cdot \vec{S}_j \approx S_i^z S_j^z + 2(S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y)$

将这个近似代入哈密顿量的表达式中，可以得到：

$H \approx H_0 - \frac{J}{2} \sum_{j \neq i} (S_i^z S_j^z + 2(S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y)) - J \sum_{j \neq i} S_i^z S_j^z$

可以看出，第一项和第三项中的 $S_i^z S_j^z$ 不会改变自旋的量子数 $m$，只有第二项中的 $S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y$ 会产生量子数的变化。

考虑到自旋算符的定义，可以将 $S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y$ 展开为：

$S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y = \frac{1}{2}(S_i^+ S_j^- + S_i^- S_j^+ ) + \frac{1}{2i}(S_i^+ S_j^- - S_i^- S_j^+ )$

所以，只有 $\frac{1}{2i}(S_i^+ S_j^- - S_i^- S_j^+ )$ 会改变自旋的量子数 $m$。根据题目中给出的结果，我们可以将其写为：

$\frac{1}{2i}(S_i^+ S_j^- - S_i^- S_j^+ ) = \frac{1}{2i}(\sqrt{(S_i - m)(S_i + m + 1)} \ket{S_i, m-1} - \sqrt{(S_i + m)(S_i - m + 1)} \ket{S_i, m+1})$

其中，$S_i$ 是第 $i$ 个自旋的自旋角动量量子数，$m$ 是第 $i$ 个自旋的磁量子数。

现在，我们可以计算铁磁体的低能单点激发能量。假设激发发生在第 $i$ 个自旋上，那么激发态的能量为：

$E = \bra{S,m} H \ket{S,m} = \bra{S,m} H_0 \ket{S,m} - \frac{J}{2} \sum_{j \neq i} \bra{S,m} S_i^z S_j^z \ket{S,m} - \frac{J}{2i} \sum_{j \neq i} \bra{S,m} \sqrt{(S_i - m)(S_i + m + 1)} \ket{S_i, m-1} - \bra{S,m} \sqrt{(S_i + m)(S_i - m + 1)} \ket{S_i, m+1}$

由于激发态是单点激发，其他自旋的量子数保持不变，所以可以将自旋算符的期望值写为：

$\bra{S,m} S_i^z S_j^z \ket{S,m} = m \bra{S,m} S_j^z \ket{S,m} = m \delta_{ij} \bra{S,m} \ket{S,m}$

$\bra{S,m} \sqrt{(S_i - m)(S_i + m + 1)} \ket{S_i, m-1} = \sqrt{(S_i - m)(S_i + m + 1)} \bra{S,m} \ket{S_i, m-1} = \sqrt{(S_i - m)(S_i + m + 1)} \delta_{ii} \bra{S,m} \ket{S_i, m-1}$

$\bra{S,m} \sqrt{(S_i + m)(S_i - m + 1)} \ket{S_i, m+1} = \sqrt{(S_i + m)(S_i - m + 1)} \bra{S,m} \ket{S_i, m+1}$

代入上述结果，可以简化能量的表达式为：

$E = \bra{S,m} H_0 \ket{S,m} - \frac{J}{2} m \bra{S,m} \ket{S,m} - \frac{J}{2i} \sqrt{(S_i - m)(S_i + m + 1)} \bra{S,m} \ket{S_i, m-1} - \sqrt{(S_i + m)(S_i - m + 1)} \bra{S,m} \ket{S_i, m+1}$

注意到，$\bra{S,m} H_0 \ket{S,m}$ 是常数，不会对能量的计算产生影响。而 $\bra{S,m} \ket{S,m}$ 和 $\bra{S,m} \ket{S_i, m \pm 1}$ 可以通过归一化条件和对易关系计算得到