$H = sumlimit_sigma varepsilon_0 c_sigma^dagger c_sigma + U n_uparrow n_downarrow$ Hubbard 近似求解格林函数 $langle langle c_sigma c_sigma^daggerranglerangle$

在Hubbard近似下，格林函数的形式可以通过Dyson方程来求解。对于给定的自旋$\sigma$，我们有：

$$ \langle\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle\rangle = \langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle + \sum_k \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_k} \langle k | c_\sigma^\dagger \rangle $$

其中，$H_{\text{int}} = Un_{\uparrow}n_{\downarrow}$是相互作用哈密顿量，$E$是能量，$\varepsilon_k$是动量为$k$的单粒子能级。

首先，我们考虑第一项$\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle$。由于$c_\sigma$和$c_\sigma^\dagger$是费米子算符，我们有${c_\sigma, c_\sigma^\dagger} = 1$，因此第一项为$1$。

接下来，我们考虑第二项。由于Hubbard模型中的相互作用项只与自旋有关，我们可以将单粒子态$k$分为自旋向上和自旋向下的两部分，即$k = (k_{\uparrow}, k_{\downarrow})$。那么，我们可以将第二项写为：

$$ \sum_k \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_k} \langle k | c_\sigma^\dagger \rangle = \sum_{k_{\uparrow}} \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\uparrow}\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\uparrow}}} \langle k_{\uparrow} | c_\sigma^\dagger \rangle + \sum_{k_{\downarrow}} \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\downarrow}\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\downarrow}}} \langle k_{\downarrow} | c_\sigma^\dagger \rangle $$

根据Hubbard模型的相互作用项$H_{\text{int}} = Un_{\uparrow}n_{\downarrow}$，我们可以将其展开为：

$$ H_{\text{int}} = Un_{\uparrow}n_{\downarrow} = U\left(c_{\uparrow}^\dagger c_{\uparrow}\right) \left(c_{\downarrow}^\dagger c_{\downarrow}\right) = U n_{\uparrow} n_{\downarrow} $$

其中，$n_{\uparrow} = c_{\uparrow}^\dagger c_{\uparrow}$表示自旋向上的粒子数算符，$n_{\downarrow} = c_{\downarrow}^\dagger c_{\downarrow}$表示自旋向下的粒子数算符。因此，我们有$\langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\sigma'}\rangle = U\langle c_\sigma | n_{\uparrow} n_{\downarrow} | k_{\sigma'}\rangle = U\langle c_\sigma | n_{\uparrow} | k_{\sigma'}\rangle \langle c_\sigma | n_{\downarrow} | k_{\sigma'}\rangle$。

考虑到自旋算符与粒子数算符的定义，我们可以得到$\langle c_\sigma | n_{\uparrow} | k_{\sigma'}\rangle = \delta_{\sigma,\sigma'}\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger | k_{\sigma'}\rangle = \delta_{\sigma,\sigma'}$，以及$\langle c_\sigma | n_{\downarrow} | k_{\sigma'}\rangle = \delta_{\sigma,\sigma'}\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger | k_{\sigma'}\rangle = \delta_{\sigma,\sigma'}$。因此，我们有$\langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\sigma'}\rangle = U\delta_{\sigma,\sigma'}$。

最后，我们将第二项写为：

$$ \sum_{k_{\sigma}} \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\sigma}\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\sigma}}} \langle k_{\sigma} | c_\sigma^\dagger \rangle + \sum_{k_{\sigma}} \langle c_\sigma | H_{\text{int}} | k_{\sigma}\rangle \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\sigma}}} \langle k_{\sigma} | c_\sigma^\dagger \rangle = U\sum_{k_{\sigma}} \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\sigma}}} $$

综上所述，格林函数$\langle\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle\rangle$的形式为：

$$ \langle\langle c_\sigma | c_\sigma^\dagger \rangle\rangle = 1 + U\sum_{k_{\sigma}} \frac{1}{E - \varepsilon_{k_{\sigma}}} $$

其中，$\sum_{k_{\sigma}}$表示对自旋$\sigma$的所有单粒子态求和