【位乘问题】设XY是两个n位二进制n=2k求XY。试设计一个分治算法求解该位乘问题请给出求解过程的伪代码描述并对该算法在最差情况下的时间复杂度进行估计要求给出递推式及推导过程。给出详细的解答步骤且伪代码部分给出相应的注释简单易懂

伪代码描述如下：

function multiply(X, Y):
    // 获取二进制数的位数
    n = length(X)
    
    // 递归基，当n=1时直接返回结果
    if n = 1:
        return X * Y
    
    // 将X和Y分成两半
    a, b = split(X)
    c, d = split(Y)
    
    // 递归求解
    ac = multiply(a, c)
    bd = multiply(b, d)
    ad_bc = multiply(a + b, c + d) - ac - bd
    
    // 计算结果并返回
    result = ac * 2^n + ad_bc * 2^(n/2) + bd
    return result

算法的时间复杂度可以通过递推式来估计。设T(n)表示求解n位二进制数的乘法运算的时间复杂度。

对于递归过程，每次都将问题分成两个子问题，所以递推式为： T(n) = 3T(n/2) + O(n)

其中3T(n/2)表示递归求解两个子问题的时间复杂度，O(n)表示合并子问题的时间复杂度。

根据主定理（Master Theorem），此递推式的解为T(n) = O(n^log2(3))，即在最差情况下的时间复杂度为O(n^log2(3))