求z=x^4+y^4-4xy+1的极值和极值点

将z看作是x和y的函数，即z=f(x,y)=x^4+y^4-4xy+1。

首先求f(x,y)对x和y的一阶偏导数： ∂f/∂x = 4x^3 - 4y ∂f/∂y = 4y^3 - 4x

然后解方程∂f/∂x = 0和∂f/∂y = 0，求出极值点。

令4x^3 - 4y = 0，得到x^3 = y 将y代入∂f/∂y = 0，得到4(x^3)^3 - 4x = 0 化简得到4x^9 - 4x = 0 解得x = 0或x = ±1

当x = 0时，由x^3 = y，得到y = 0 当x = 1时，由x^3 = y，得到y = 1 当x = -1时，由x^3 = y，得到y = -1

所以极值点为(0, 0)，(1, 1)，(-1, -1)。

接下来求二阶偏导数： ∂²f/∂x² = 12x^2 ∂²f/∂y² = 12y^2 ∂²f/∂x∂y = -4 对于(0, 0)，有∂²f/∂x² = 0，∂²f/∂y² = 0，∂²f/∂x∂y = -4 构造二阶偏导数判别式D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = 0 - (-4)² = 16 > 0，且∂²f/∂x² = 0 < 0，所以(0, 0)是极小值点。

对于(1, 1)，有∂²f/∂x² = 12，∂²f/∂y² = 12，∂²f/∂x∂y = -4 构造二阶偏导数判别式D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = (12)(12) - (-4)² = 144 - 16 = 128 > 0，且∂²f/∂x² = 12 > 0，所以(1, 1)是极大值点。

对于(-1, -1)，有∂²f/∂x² = 12，∂²f/∂y² = 12，∂²f/∂x∂y = -4 构造二阶偏导数判别式D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = (12)(12) - (-4)² = 144 - 16 = 128 > 0，且∂²f/∂x² = 12 > 0，所以(-1, -1)是极大值点。

综上，z=x^4+y^4-4xy+1的极小值点为(0, 0)，极大值点为(1, 1)和(-1, -1)