z=x^4+y^4-4xy+1的极值和极值点

首先，我们计算该函数的一阶偏导数：

∂z/∂x = 4x^3 - 4y ∂z/∂y = 4y^3 - 4x

然后，我们令一阶偏导数等于0，求出临界点：

4x^3 - 4y = 0 --> x^3 - y = 0 --> (x^3)^2 - y^2 = 0 --> (x^3 + y)(x^3 - y) = 0 4y^3 - 4x = 0 --> y^3 - x = 0 --> (y^3)^2 - x^2 = 0 --> (y^3 + x)(y^3 - x) = 0

解方程组：

x^3 + y = 0 y^3 + x = 0

通过解方程组，我们得到以下可能的极值点： (0, 0) (1, -1) (-1, 1)

接下来，我们计算二阶偏导数：

∂²z/∂x² = 12x^2 ∂²z/∂y² = 12y^2 ∂²z/∂x∂y = -4

将极值点代入二阶偏导数的表达式中，得到以下结果：

(0, 0)：∂²z/∂x² = 0，∂²z/∂y² = 0，∂²z/∂x∂y = -4 (1, -1)：∂²z/∂x² = 12，∂²z/∂y² = 12，∂²z/∂x∂y = -4 (-1, 1)：∂²z/∂x² = 12，∂²z/∂y² = 12，∂²z/∂x∂y = -4

根据二阶偏导数的结果，我们可以判断极值点的类型：

(0, 0)：二阶偏导数未定，无法判断 (1, -1)：二阶偏导数为正，是极小值点 (-1, 1)：二阶偏导数为正，是极小值点

综上所述，该函数的极值点为(0, 0)，极值类型为极小值点