求z=x^4+y^4-4xy+1的极值

我们可以使用二阶偏导数的方法来求解这个问题。首先，我们计算关于$x$和$y$的一阶偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 - 4y$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = 4y^3 - 4x$$

然后，我们计算关于$x$和$y$的二阶偏导数：

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12x^2$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 12y^2$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -4$$

接下来，我们令一阶偏导数等于零，求解$x$和$y$的值：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 0 \implies 4x^3 - 4y = 0$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \implies 4y^3 - 4x = 0$$

解这个方程组，我们可以得到两个解：$(x, y) = (1, 1)$和$(x, y) = (-1, -1)$。

然后，我们计算二阶偏导数的值并代入解后的$x$和$y$的值：

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(1) = 12(1)^2 = 12$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(1) = 12(1)^2 = 12$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(1) = -4$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(-1) = 12(-1)^2 = 12$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(-1) = 12(-1)^2 = 12$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(-1) = -4$$

接下来，我们使用二阶偏导数的判别式来判断这两个解是否为极值点：

$$D = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2$$

代入上面计算的值：

$$D(1, 1) = (12)(12) - (-4)^2 = 144 - 16 = 128$$ $$D(-1, -1) = (12)(12) - (-4)^2 = 144 - 16 = 128$$

由于判别式大于零，所以这两个解$(1, 1)$和$(-1, -1)$都是极值点。

最后，我们需要判断这两个解是极大值点还是极小值点。我们可以通过计算二阶偏导数的值来判断。如果二阶偏导数的值大于零，则是极小值点；如果二阶偏导数的值小于零，则是极大值点。

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(1) = 12 > 0$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(-1) = 12 > 0$$

所以，解$(1, 1)$和$(-1, -1)$都是极小值点。

综上所述，函数$z = x^4 + y^4 - 4xy + 1$的极小值点为$(1, 1)$和$(-1, -1)$，极小值为$z = 1$