已知函数G：ax²+bx且点Xpq、点Yrs均在函数G的图像上且p=r+aq=s+2r-3a已知a=11求函数G的解析式2现已知在函数G上有一点A3m过A点的直线l₁与G交于A、B两点连接AB直线l₂过点A且与G相切在线段AB上有一动点P与A、B不重合过P点作y轴平行线交G与点C交直线l₂与D连接BC过点D作DEBC交l₁与点E且DE与G相切求P点的轨迹方程以及P点纵坐标的取值范围

(1) 由已知条件可得： p = r + a = r + 1 q = s + 2r - 3a = s + 2r - 3

代入函数G的解析式可得： G(x) = ax² + bx = (x - p)(x - r) = (x - (r + 1))(x - r) = (x - r - 1)(x - r) = x² - (2r + 1)x + r(r + 1)

所以函数G的解析式为 G(x) = x² - (2r + 1)x + r(r + 1)

(2) 首先求过A点的直线l₁的方程。由已知条件可知A点的坐标为 (3, m)，代入函数G的解析式可得： m = G(3) = 3² - (2r + 1)·3 + r(r + 1) = 9 - 6r - 3 + r² + r = r² - 5r + 6

所以直线l₁的方程为 y = (r² - 5r + 6)x + b

然后求直线l₂的方程。由已知条件可知直线l₂过点A(3, m)，且与函数G相切，所以直线l₂的斜率等于函数G在点A的斜率。函数G的斜率为 G'(x) = 2x - (2r + 1)，在点A(3, m)处的斜率为： m = G'(3) = 2·3 - (2r + 1) = 6 - 2r - 1 = 5 - 2r

所以直线l₂的方程为 y = (5 - 2r)x + c

过点P的y轴平行线的方程为 x = k，其中 k 是一个常数。代入函数G的解析式可得： G(k) = k² - (2r + 1)k + r(r + 1)

点C的坐标为 (0, G(0))，代入函数G的解析式可得： G(0) = 0² - (2r + 1)·0 + r(r + 1) = r(r + 1)

点D的坐标为 (d, G(d))，其中 d 是直线BC与y轴的交点坐标。代入直线l₂的方程可得： G(d) = (5 - 2r)d + c

由于直线DE与BC平行且与G相切，所以直线DE的斜率等于函数G在点D的斜率。函数G的斜率为 G'(x) = 2x - (2r + 1)，在点D(d, G(d))处的斜率为： G'(d) = 2d - (2r + 1)

所以直线DE的方程为 y - G(d) = (2d - (2r + 1))(x - d)

直线DE与直线l₁平行，所以直线DE的斜率等于直线l₁的斜率。直线l₁的斜率为 r² - 5r + 6，代入直线DE的方程可得： 2d - (2r + 1) = r² - 5r + 6

解上述方程可得 d = (r² - 7r + 7) / 2

直线DE与直线l₁相交于点E，代入直线DE的方程可得： G(d) + (2d - (2r + 1))(x - d) = (r² - 5r + 6)x + b

将直线l₁的方程和直线DE的方程联立解方程组可得： (r² - 5r + 6)x + b = G(d) + (2d - (2r + 1))(x - d)

整理方程可得： (r² - 5r + 6 - (2d - (2r + 1)))x + (b - G(d) + 2d·d - 2d·(2r + 1)) = 0

由于直线l₁和直线DE相交于点E，所以方程左边的系数为0，即： r² - 5r + 6 - (2d - (2r + 1)) = 0

代入 d = (r² - 7r + 7) / 2 可得： r² - 5r + 6 - 2(r² - 7r + 7) + 2r + 1 = 0

化简方程可得： r² - 5r + 6 - 2r² + 14r - 14 + 2r + 1 = 0 -r² + 11r - 7 = 0

解上述二次方程可得 r = (11 ± √(11² - 4·(-1)·(-7))) / (2·(-1)) 解得 r ≈ 6.1 或 r ≈ 0.9

代入 d = (r² - 7r + 7) / 2 可得 d ≈ 11.9 或 d ≈ -3.1

所以点P的轨迹方程为 x = k，其中 k 是一个常数，纵坐标的取值范围为 m - G(d) ≤ y ≤ m - G(0) ，即 m - (r(r + 1)) ≤ y ≤ m - r(r + 1