积分方程mfie公式

MFIE（Method of Fundamental Solutions for Integral Equations）是一种求解积分方程的方法，它基于格林函数的性质和积分算子的特征值分解。

MFIE方法的基本思想是将积分方程转化为一组线性代数方程，然后通过求解这组方程得到积分方程的解。

具体而言，对于给定的积分方程： [ \int_{S} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') , dS' = g(\mathbf{r}) ]

其中$G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')$是格林函数，$f(\mathbf{r}')$是未知函数，$g(\mathbf{r})$是已知函数。

MFIE方法的步骤如下：

1. 将格林函数展开为基函数的线性组合： [ G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \sum_{j=1}^{N} \phi_j(\mathbf{r}) \phi_j(\mathbf{r}') ]

2. 将未知函数$f(\mathbf{r}')$和已知函数$g(\mathbf{r})$也展开为基函数的线性组合： [ f(\mathbf{r}') = \sum_{i=1}^{N} c_i \phi_i(\mathbf{r}') ] [ g(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^{N} d_i \phi_i(\mathbf{r}) ]

3. 将积分方程代入，得到一组线性代数方程： [ \sum_{j=1}^{N} \left( \int_{S} \phi_i(\mathbf{r}) \phi_j(\mathbf{r}') , dS' \right) c_j = d_i ]

4. 解这组线性代数方程，得到未知系数$c_i$的值。

5. 最后，将求得的系数$c_i$代入基函数展开式，得到未知函数$f(\mathbf{r}')$的近似解。

MFIE方法的优点是可以通过选取适当的基函数，将积分方程转化为一个稀疏线性方程组，从而提高计算效率。但是，选择合适的基函数和求解线性方程组仍然是该方法的难点之一