厄米多项式 - 定义、递推关系及应用

厄米多项式

厄米多项式 (Hermite polynomials) 是一类常见的正交多项式，由法国数学家 Charles Hermite 在 19 世纪中期引入。这些多项式常用于解决量子力学和统计力学中的问题。

定义

厄米多项式是由以下公式定义的多项式序列：

H_n(x) = (-1)^n e^x \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x} x^n)

其中 n 是非负整数。这里的 d/dx 表示对 x 求导数。

递推关系

这个定义可以通过递推关系式更方便地计算：

• H_0(x) = 1
• H_1(x) = 2x
• H_n(x) = 2x H_{n-1}(x) - 2(n-1) H_{n-2}(x)

这个递推式可以用来计算任意阶的厄米多项式。

应用

厄米多项式在物理学中有广泛的应用。

• 量子力学: 它们可以用于描述量子谐振子的能级、氢原子的波函数。
• 统计力学: 它们可以用于描述玻尔兹曼分布。

此外，厄米多项式还可以用于计算各种物理量，如期望值和方差。