在农场选择一块水稻田随机调查200—250丛稻株上稻纵卷叶螟幼虫数量请把调查数据整理成频次分布表用频次分布法拟合稻纵卷叶螟幼虫符合哪种空间分布型。拟合泊松分布型和拟合负二项分布型两种。包括f理论和各个卡方值稻田面积为1亩假设随机调查200丛稻株得到以下数据： 幼虫数量 频次 -------- ---- 0 102 1 45 2 25

首先计算平均幼虫数： $$\bar{y}=\frac{\sum_{i=0}^6 y_i \cdot f_i}{\sum_{i=0}^6 f_i}=\frac{1\cdot45+2\cdot25+3\cdot15+4\cdot9+5\cdot3+6\cdot1}{200}=1.38$$

泊松分布拟合

对于泊松分布，其概率质量函数为： $$P(Y=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$ 其中，$\lambda$为平均值，$k$为幼虫数。

设泊松分布的理论频次为$f_i^$，则有： $$f_i^=P(Y=i)\cdot n=P(Y=i)\cdot200=\frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!}\cdot200$$

根据频次分布表和泊松分布的理论频次，可以得到以下表格：

| 幼虫数量 | 频次 $f_i$ | 理论频次 $f_i^$ | $(f_i-f_i^)^2/f_i^*$ | | -------- | ---------- | ---------------- | -------------------- | | 0 | 102 | 32.26 | 42.62 | | 1 | 45 | 44.43 | 0.01 | | 2 | 25 | 61.28 | 22.19 | | 3 | 15 | 53.12 | 17.99 | | 4 | 9 | 23.24 | 47.12 | | 5 | 3 | 6.42 | 2.95 | | 6 | 1 | 1.46 | 0.60 | | 总计 | 200 | | 133.48 |

根据卡方检验，自由度为$k-1=6-1=5$，查表可得临界值为$11.07$，计算得到卡方值为$133.48$，大于临界值，因此不能接受泊松分布的假设。

负二项分布拟合

对于负二项分布，其概率质量函数为： $$P(Y=k)=\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^r$$ 其中，$p$为每一次试验中获得成功的概率，$r$为试验成功的次数，$k$为试验失败的次数，$k$的取值范围为$0,1,2,\ldots$。

设负二项分布的理论频次为$f_i^$，则有： $$f_i^=P(Y=i)\cdot n=P(Y=i)\cdot200=\binom{i+r-1}{i}p^i(1-p)^r\cdot200$$

对于负二项分布，需要估计两个参数$p$和$r$，其中$p$可以根据平均幼虫数$\bar{y}$和方差$s^2$计算得到： $$p=\frac{\bar{y}}{s^2-\bar{y}}$$ 其中， $$s^2=\frac{\sum_{i=0}^6 (y_i-\bar{y})^2\cdot f_i}{\sum_{i=0}^6 f_i-1}=\frac{(0-1.38)^2\cdot102+(1-1.38)^2\cdot45+(2-1.38)^2\cdot25+(3-1.38)^2\cdot15+(4-1.38)^2\cdot9+(5-1.38)^2\cdot3+(6-1.38)^2\cdot1}{200-1}=1.96$$ 因此， $$p=\frac{1.38}{1.96-1.38}=0.459$$

接下来估计$r$的值。根据负二项分布的均值和方差的公式，有： $$\bar{y}=\frac{rp}{1-p}$$ $$s^2=\frac{rp}{(1-p)^2}$$ 将$p$代入上式，得到： $$\bar{y}=\frac{r\cdot0.459}{1-0.459}=\frac{0.459r}{0.541}$$ $$s^2=\frac{r\cdot0.459}{(1-0.459)^2}=\frac{0.459r}{0.238}$$ 解方程组，得到$r=2.47$。

根据频次分布表和负二项分布的理论频次，可以得到以下表格：

| 幼虫数量 | 频次 $f_i$ | 理论频次 $f_i^$ | $(f_i-f_i^)^2/f_i^*$ | | -------- | ---------- | ---------------- | -------------------- | | 0 | 102 | 49.21 | 20.18 | | 1 | 45 | 55.32 | 2.43 | | 2 | 25 | 47.37 | 5.29 | | 3 | 15 | 29.67 | 8.18 | | 4 | 9 | 13.93 | 20.02 | | 5 | 3 | 5.18 | 2.54 | | 6 | 1 | 1.75 | 0.44 | | 总计 | 200 | | 59.04 |

根据卡方检验，自由度为$k-2=6-2=4$，查表可得临界值为$9.49$，计算得到卡方值为$59.04$，小于临界值，因此可以接受负二项分布的假设。

综上，可以得出结论：在该水稻田中，稻纵卷叶螟幼虫的空间分布符合负二项分布