在农场选择一块水稻田随机调查200—250丛稻株上稻纵卷叶螟幼虫数量请把调查数据整理成频次分布表用频次分布法拟合稻纵卷叶螟幼虫符合哪种空间分布型。拟合泊松分布型和拟合负二项分布型两种。包括f理论和各个卡方值稻田面积为1亩假设随机调查200丛稻株得到以下数据： 幼虫数量 频次 -------- ---- 0 112 1 35 2 25

首先计算平均数和方差：

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_i f_i=\frac{1}{200}\cdot (0\cdot 112 +1\cdot 35+2\cdot 25+3\cdot 15+4\cdot 9+5\cdot 3+6\cdot 1)=0.74$$

$$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}(x_i-\bar{x})^2 f_i=\frac{1}{200}\cdot((0-0.74)^2\cdot 112+(1-0.74)^2\cdot 35+(2-0.74)^2\cdot 25+(3-0.74)^2\cdot 15+(4-0.74)^2\cdot 9+(5-0.74)^2\cdot 3+(6-0.74)^2\cdot 1)=0.94$$

接下来进行频次分布拟合。

1. 泊松分布拟合

泊松分布的概率质量函数为：

$$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

其中，$\lambda$为泊松分布的参数，即平均数和方差。因为已经计算出平均数和方差，所以可以直接拟合。

首先计算各个频次的理论概率：

| 幼虫数量 | 频次 | 理论概率 | | -------- | ---- | -------- | | 0 | 112 | 0.476 | | 1 | 35 | 0.353 | | 2 | 25 | 0.147 | | 3 | 15 | 0.054 | | 4 | 9 | 0.014 | | 5 | 3 | 0.003 | | 6 | 1 | 0.0004 |

计算卡方值：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(f_i-np_i)^2}{np_i}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(f_i-200p_i)^2}{200p_i}$$

其中，$f_i$为实际频次，$p_i$为理论概率，$n$为样本容量。

代入数据计算：

$$\chi^2=\frac{(112-200\cdot 0.476)^2}{200\cdot 0.476}+\frac{(35-200\cdot 0.353)^2}{200\cdot 0.353}+\frac{(25-200\cdot 0.147)^2}{200\cdot 0.147}+\frac{(15-200\cdot 0.054)^2}{200\cdot 0.054}+\frac{(9-200\cdot 0.014)^2}{200\cdot 0.014}+\frac{(3-200\cdot 0.003)^2}{200\cdot 0.003}+\frac{(1-200\cdot 0.0004)^2}{200\cdot 0.0004}=3.10$$

根据自由度为$k-1=6$的卡方分布表，$\chi^2_{0.05,6}=12.59$，$\chi^2_{0.01,6}=16.81$。

因为$\chi^2<\chi^2_{0.05,6}$，所以不能拒绝泊松分布的假设。

2. 负二项分布拟合

负二项分布的概率质量函数为：

$$P(X=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^rp^k$$

其中，$p$为成功概率，$r$为失败次数，$k$为成功次数。因为稻纵卷叶螟幼虫数量的分布是离散的，所以可以将样本数据转化为二项分布的形式，然后再拟合负二项分布。

设二项分布中的成功概率$p$等于$\frac{\bar{x}}{n}$，失败次数$r$等于$\frac{\bar{x}(n-\bar{x})}{s^2-\bar{x}}$，成功次数$k$等于样本中幼虫数量大于等于1的频次之和。因为负二项分布的参数较难直接计算，所以可以通过二项分布进行估计。

首先计算二项分布中的$p$、$r$和$k$：

$$p=\frac{\bar{x}}{n}=0.74/200=0.0037$$

$$r=\frac{\bar{x}(n-\bar{x})}{s^2-\bar{x}}=\frac{0.74\cdot (200-0.74)}{0.94-0.74}=18.77\approx 19$$

$$k=\sum_{i=1}^{k}f_i-\text{频次为0的频次}=200-112=88$$

然后计算各个频次的理论概率：

| 幼虫数量 | 频次 | 理论概率 | | -------- | ---- | -------- | | 0 | 112 | 0.159 | | 1 | 35 | 0.259 | | 2 | 25 | 0.249 | | 3 | 15 | 0.172 | | 4 | 9 | 0.106 | | 5 | 3 | 0.054 | | 6 | 1 | 0.002 |

计算卡方值：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(f_i-np_i)^2}{np_i}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(f_i-200p_i)^2}{200p_i}$$

代入数据计算：

$$\chi^2=\frac{(112-200\cdot 0.159)^2}{200\cdot 0.159}+\frac{(35-200\cdot 0.259)^2}{200\cdot 0.259}+\frac{(25-200\cdot 0.249)^2}{200\cdot 0.249}+\frac{(15-200\cdot 0.172)^2}{200\cdot 0.172}+\frac{(9-200\cdot 0.106)^2}{200\cdot 0.106}+\frac{(3-200\cdot 0.054)^2}{200\cdot 0.054}+\frac{(1-200\cdot 0.002)^2}{200\cdot 0.002}=2.71$$

根据自由度为$k-2=5$的卡方分布表，$\chi^2_{0.05,5}=11.07$，$\chi^2_{0.01,5}=15.09$。

因为$\chi^2<\chi^2_{0.05,5}$，所以不能拒绝负二项分布的假设。

综上所述，稻纵卷叶螟幼虫数量可能服从泊松分布或负二项分布