已经某灰度图像X=6 5 9 3 510 6 9 8 63 7 1 7 78 9 10 8 610 6 1 2 9对于平坦结构元素S=1 1 11 1 11 1 1即所有元素均一样试问该灰度图像X进行形态学膨胀和腐蚀操作之后的图像矩阵分别是什么？提示：对于灰度图像X边缘的采用填充的方法即对称填补。

根据定义，形态学膨胀操作的结果为：$$ X\oplus S = {z\mid S_z\cap X\neq\emptyset} $$ 其中，$S_z$表示将结构元素$S$中心对齐到位置$z$时，$S$中与$X$重叠的部分。同理，形态学腐蚀操作的结果为：$$ X\ominus S = {z\mid S_z\subseteq X} $$

由于结构元素$S$是平坦的，因此在对称填补边缘时，填充的值为结构元素的中心值，即1。填充后的灰度图像为：$$ X' = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 6 & 5 & 9 & 3 & 5 & 1\ 1 & 10 & 6 & 9 & 8 & 6 & 1\ 1 & 3 & 7 & 1 & 7 & 7 & 1\ 1 & 8 & 9 & 10 & 8 & 6 & 1\ 1 & 10 & 6 & 1 & 2 & 9 & 1\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

对于形态学膨胀操作，首先将结构元素$S$中心对齐到灰度图像的每一个位置，然后将$S$中与$X$重叠的部分取并集。具体地，对于位置$(2,2)$，有：$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\ 1 (1) 1\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\cap \begin{bmatrix} 6 & 5 & 9\ 10 & 6 & 9\ 3 & 7 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 5 & 9\ 10 & 6 & 9\ 3 & 7 & 1 \end{bmatrix} $$

同理，可以得到其他位置的结果，最终形态学膨胀操作的结果为：$$ X\oplus S = \begin{bmatrix} 6 & 6 & 9 & 9 & 9 & 9 & 5\ 10 & 10 & 10 & 9 & 9 & 9 & 8\ 10 & 10 & 10 & 9 & 9 & 9 & 8\ 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 8 & 8\ 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 & 9\ 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 & 9\ 8 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 & 9 \end{bmatrix} $$

对于形态学腐蚀操作，首先将结构元素$S$中心对齐到灰度图像的每一个位置，然后判断$S$是否完全包含在$X$中。具体地，对于位置$(2,2)$，有：$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\ 1 (1) 1\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\subseteq \begin{bmatrix} 6 & 5 & 9\ 10 & 6 & 9\ 3 & 7 & 1 \end{bmatrix} $$

因此，该位置的结果为1。同理，可以得到其他位置的结果，最终形态学腐蚀操作的结果为：$$ X\ominus S = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 3 & 3 & 1 & 1 & 1\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 8 & 7 & 7 & 7 & 1 & 1 & 1\ 10 & 9 & 9 & 9 & 6 & 1 & 1\ 10 & 10 & 9 & 6 & 6 & 2 & 1 \end{bmatrix} $