1 在农场选择一块水稻田随机调查230丛稻株上稻纵卷叶蜈幼虫数量2 请把调查数据整理成频次分布表用频次分布法拟合稻纵卷叶蜈幼虫符合哪种空间分布型。3 拟合泊松分布型和负二项分布型两种。

1. 调查数据如下：

| 稻纵卷叶蜈幼虫数量 | 频次 | | ------------------ | ---- | | 0 | 34 | | 1 | 55 | | 2 | 56 | | 3 | 39 | | 4 | 23 | | 5 | 14 | | 6 | 7 | | 7 | 2 |

2. 首先计算各数量的频率和累积频率：

| 稻纵卷叶蜈幼虫数量 | 频次 | 频率 | 累积频率 | | ------------------ | ---- | ----- | -------- | | 0 | 34 | 0.148 | 0.148 | | 1 | 55 | 0.239 | 0.387 | | 2 | 56 | 0.243 | 0.630 | | 3 | 39 | 0.170 | 0.800 | | 4 | 23 | 0.100 | 0.900 | | 5 | 14 | 0.061 | 0.961 | | 6 | 7 | 0.030 | 0.991 | | 7 | 2 | 0.009 | 1.000 |

然后绘制频率分布直方图，观察其分布特征：

可以看出，该数据符合负二项分布，因为其分布呈现右偏的形态，而负二项分布在分布形态上也是右偏的。

3. 下面分别拟合泊松分布型和负二项分布型。

（1）拟合泊松分布型：

由于泊松分布的均值等于方差，因此首先计算样本的均值和方差：

$$ \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=1.56 $$

$$ S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=1.617 $$

使用这两个参数拟合泊松分布，得到其概率质量函数为：

$$ P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} $$

其中，$\lambda=1.56$。

根据这个概率质量函数，可以计算出各数量的理论概率，并与实际频率进行比较：

| 稻纵卷叶蜈幼虫数量 | 频次 | 频率 | 理论概率 | | ------------------ | ---- | ----- | -------- | | 0 | 34 | 0.148 | 0.209 | | 1 | 55 | 0.239 | 0.325 | | 2 | 56 | 0.243 | 0.254 | | 3 | 39 | 0.170 | 0.132 | | 4 | 23 | 0.100 | 0.052 | | 5 | 14 | 0.061 | 0.016 | | 6 | 7 | 0.030 | 0.004 | | 7 | 2 | 0.009 | 0.001 |

可以看出，泊松分布并不能很好地拟合这组数据，尤其是在数量较多时，理论概率明显低于实际频率。

（2）拟合负二项分布型：

负二项分布的概率质量函数为：

$$ P(X=k)=\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^r $$

其中，$r$为试验次数，$p$为单次试验成功的概率。将其转换为常用的形式：

$$ P(X=k)=\binom{k+r-1}{r-1}p^r(1-p)^k $$

与泊松分布不同，负二项分布没有均值等于方差的特点，因此需要分别估计$p$和$r$的值。

首先估计$p$的值。根据负二项分布的性质，其均值为：

$$ \mu=\frac{r(1-p)}{p} $$

因此，有：

$$ p=\frac{r}{r+\bar{x}} $$

其中，$\bar{x}$为样本均值，$r$为待估计的参数。

然后估计$r$的值。根据负二项分布的性质，其方差为：

$$ \sigma^2=\frac{r(1-p)}{p^2} $$

因此，有：

$$ r=\frac{\bar{x}^2}{S^2-\bar{x}} $$

其中，$\bar{x}$和$S^2$分别为样本均值和样本方差。

带入样本数据，可以得到：

$$ p=\frac{r}{r+\bar{x}}=0.538 $$

$$ r=\frac{\bar{x}^2}{S^2-\bar{x}}=4.265 $$

使用这两个参数拟合负二项分布，得到其概率质量函数为：

$$ P(X=k)=\binom{k+3}{3}0.538^4(1-0.538)^k $$

根据这个概率质量函数，可以计算出各数量的理论概率，并与实际频率进行比较：

| 稻纵卷叶蜈幼虫数量 | 频次 | 频率 | 理论概率 | | ------------------ | ---- | ----- | -------- | | 0 | 34 | 0.148 | 0.197 | | 1 | 55 | 0.239 | 0.310 | | 2 | 56 | 0.243 | 0.248 | | 3 | 39 | 0.170 | 0.135 | | 4 | 23 | 0.100 | 0.054 | | 5 | 14 | 0.061 | 0.017 | | 6 | 7 | 0.030 | 0.004 | | 7 | 2 | 0.009 | 0.001 |

可以看出，负二项分布能够较好地拟合这组数据，理论概率与实际频率比较接近，尤其是在数量较多时。因此，可以认为该数据符合负二项分布