求旋转抛物面z=2-x^2-y^2在xoy面上方的曲面面积。

首先可以画出旋转抛物面在$xOy$平面上的投影图：

由于旋转抛物面对称于$z$轴，所以可以只考虑$x>0$的部分，然后利用旋转对称性将其绕$z$轴旋转一周，得到曲面的面积为：

$$S=4\int_0^1\int_0^{\sqrt{2-x^2}}\sqrt{1+(-2x)^2+(-2y)^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=4\int_0^1\int_0^{\sqrt{2-x^2}}\sqrt{1+4x^2+4y^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x$$

注意到$\sqrt{1+4x^2+4y^2}$是关于$x$和$y$都对称的，所以可以将积分区域限制在第一象限，然后将积分区域沿着$y=x$的直线对称，得到：

$$S=8\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_0^x\sqrt{1+4x^2+4y^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x$$

接下来使用极坐标变换$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，则有：

$$S=8\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^{\frac{1}{\cos\theta}}r\sqrt{1+4r^2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=8\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{6}(1+4r^2)^{\frac{3}{2}}\Bigg|_0^{\frac{1}{\cos\theta}}\mathrm{d}\theta$$

化简后得到：

$$S=\frac{8}{3}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\bigg[(1+4\sec^2\theta)^{\frac{3}{2}}-1\bigg]\mathrm{d}\theta=\frac{32}{3}\int_1^{\sqrt{5}}\frac{u^3}{\sqrt{u^2-1}}\mathrm{d}u$$

进行$u$的代换$u=\sec\phi$，则有：

$$S=\frac{32}{3}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\phi\mathrm{d}\phi=\frac{32}{3}\bigg[\frac{\phi}{2}-\frac{1}{4}\sin 2\phi\bigg]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{16}{3}\pi-\frac{32\sqrt{3}}{9}$$

因此，曲面的面积为$\frac{16}{3}\pi-\frac{32\sqrt{3}}{9}$