甲乙射击命中次数的联合分布律 - 概率统计案例分析

甲乙射击命中次数的联合分布律 - 案例分析

假设甲乙两人独立地进行两次射击，他们的每次命中率分别为0.4和0.5。设 X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数，求 (X, Y) 的联合分布律。

1. 确定随机变量取值范围

根据题意，甲的命中次数 X 的可能取值为 0、1、2。乙的命中次数 Y 的可能取值也为 0、1、2。

2. 计算每个 (X, Y) 组合的概率

• (X=0, Y=0)：甲未命中任何一次，乙也未命中任何一次。根据独立事件的概率计算，这种情况的概率为 (1-0.4)^2 * (1-0.5)^2 = 0.36 * 0.25 = 0.09。

• (X=1, Y=0)：甲命中一次，乙未命中任何一次。这种情况的概率为 [0.4*(1-0.4) + 0.4*(1-0.4)] * (1-0.5)^2 = 0.48 * 0.25 = 0.12。

• (X=2, Y=0)：甲命中两次，乙未命中任何一次。这种情况的概率为 0.4^2 * (1-0.5)^2 = 0.16 * 0.25 = 0.04。

• (X=0, Y=1)：甲未命中任何一次，乙命中一次。这种情况的概率为 (1-0.4)^2 * [0.5*(1-0.5) + 0.5*(1-0.5)] = 0.36 * 0.5 = 0.18。

• (X=1, Y=1)：甲命中一次，乙命中一次。这种情况的概率为 [0.4*(1-0.4) + 0.4*(1-0.4)] * [0.5*(1-0.5) + 0.5*(1-0.5)] = 0.48 * 0.5 = 0.24。

• (X=2, Y=1)：甲命中两次，乙命中一次。这种情况的概率为 0.4^2 * [0.5*(1-0.5) + 0.5*(1-0.5)] = 0.16 * 0.5 = 0.08。

• (X=0, Y=2)：甲未命中任何一次，乙命中两次。这种情况的概率为 (1-0.4)^2 * 0.5^2 = 0.36 * 0.25 = 0.09。

• (X=1, Y=2)：甲命中一次，乙命中两次。这种情况的概率为 [0.4*(1-0.4) + 0.4*(1-0.4)] * 0.5^2 = 0.48 * 0.25 = 0.12。

• (X=2, Y=2)：甲命中两次，乙命中两次。这种情况的概率为 0.4^2 * 0.5^2 = 0.16 * 0.25 = 0.04。

3. 列出 (X, Y) 的联合分布律

| (X, Y) | 概率 ||---|---|| (0, 0) | 0.09 || (1, 0) | 0.12 || (2, 0) | 0.04 || (0, 1) | 0.18 || (1, 1) | 0.24 || (2, 1) | 0.08 || (0, 2) | 0.09 || (1, 2) | 0.12 || (2, 2) | 0.04 |

结论

通过计算，我们得到了甲乙两人射击命中次数的联合分布律。该分布律可以帮助我们分析甲乙两人命中次数之间的关系，以及预测未来射击结果的可能性。