质点在变速圆周运动中的加速度

当质点做半径为 $r$ 的变速圆周运动时，它的加速度大小可以通过以下公式计算：

$$ a = \frac{v^2}{r} + \frac{dv}{dt} $$

其中，$v$ 是质点在圆周运动过程中的速度，$t$ 是时间，$d$ 表示求导数。

在圆周运动中，速度的大小可以表示为：

$$ v = \frac{2\pi r}{T} $$

其中，$T$ 是质点绕圆一周所需的时间。

因此，当质点做半径为 $r$ 的变速圆周运动时，它的加速度大小为：

$$ a = \frac{4\pi^2 r}{T^2} + \frac{d}{dt} \left( \frac{2\pi r}{T} \right) $$

根据牛顿第二定律可以得到，质点在圆周运动过程中的向心力大小为：

$$ F_c = ma = m \left( \frac{4\pi^2 r}{T^2} + \frac{d}{dt} \left( \frac{2\pi r}{T} \right) \right) $$

因此，当质量为 $m$ 的质点在半径为 $r$ 的圆周运动中，其加速度大小为 $a = \frac{F_c}{m}$，即：

$$ a = \frac{4\pi^2 r}{T^2} + \frac{d}{dt} \left( \frac{2\pi r}{T} \right) $$

这就是质点在变速圆周运动中的加速度大小的表达式。