如图在 ABC 中点 E 是 AB 边上的点且 AE EB 2 3 点 D 是 BC 边上的点且 BDDC12AD与CE相交于点F若四边形BDFE的面积是 16则ABC的面积为
根据题意，先求出 $DF$ 和 $BE$ 的长度。 由于 $BD:DC=1:2$，设 $BD=x$，则 $DC=2x$，由 $AE:EB=2:3$，设 $AE=2y$，则 $EB=3y$。 则有 $AB=5y$，$BC=3x$，$AC=5y+3x$。 由于 $\triangle ADF \sim \triangle CEF$，则有 $\dfrac{AF}{CF}=\dfrac{AD}{CE}$，即 $\dfrac{AF}{AF+5y}=\dfrac{2x}{2x+3x}$，解得 $AF=\dfrac{10xy}{5y+5x}$，$CF=\dfrac{15xy}{5y+5x}$。 由海龙公式可得 $\triangle ADF$ 和 $\triangle CEF$ 的面积： $$S_{ADF}=\sqrt{\dfrac{5x+AF+2y}{2}\cdot \dfrac{AF}{2}\cdot \dfrac{3x+2y-AF}{2}\cdot \dfrac{2y}{2}}$$ $$S_{CEF}=\sqrt{\dfrac{5y+CF+3x}{2}\cdot \dfrac{CF}{2}\cdot \dfrac{3y+3x-CF}{2}\cdot \dfrac{3x}{2}}$$ 两式相加，整理后可得： $$S_{\triangle ABC}=S_{ADF}+S_{CEF}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{(5y+3x)(5y-3x)(5x+2y-AF)(5x+2y+AF)}$$ 代入 $AF=\dfrac{10xy}{5y+5x}$，整理可得： $$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{(5y)^2-(3x)^2}\cdot \sqrt{4xy+5x^2+5y^2}$$ 又因为 $S_{BDFE}=\dfrac{1}{2}\cdot BD\cdot EF=8$，代入 $BD=x$，$EF=AF+BE=AF+3y=\dfrac{10xy}{5y+5x}+3y$，解得 $x=2$，$y=2\sqrt{2}$。 最终代入可得 $\boxed{S_{\triangle ABC}=20\sqrt{2}}$
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