根据机器人末端 P 点在基坐标系下的位置，可以建立机器人坐标系：

其中，$x_1$、$x_2$、$x_3$ 分别是关节角度，$l_1$、$l_2$、$l_3$ 分别是机械臂的长度。

笛卡尔空间速度与关节空间速度的映射关系为：

$$ \begin{pmatrix} v_x \ v_y \ v_z \ \omega_x \ \omega_y \ \omega_z \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} J_{11} & J_{12} & J_{13} \ J_{21} & J_{22} & J_{23} \ J_{31} & J_{32} & J_{33} \ J_{41} & J_{42} & J_{43} \ J_{51} & J_{52} & J_{53} \ J_{61} & J_{62} & J_{63} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \ \dot{x}_2 \ \dot{x}_3 \end{pmatrix} $$

其中，$v_x$、$v_y$、$v_z$ 分别是 P 点在基坐标系下的线速度，$\omega_x$、$\omega_y$、$\omega_z$ 分别是 P 点在基坐标系下的角速度。

根据机器人坐标系的定义，P 点在机器人坐标系下的位置为：

$$ P = \begin{pmatrix} l_2\cos(x_1+x_2)+l_1\cos x_1 \ l_2\sin(x_1+x_2)+l_1\sin x_1 \ l_3 \end{pmatrix} $$

对其求导可得：

$$ \begin{aligned} \dot{P} &= \begin{pmatrix} -\dot{x}_1 (l_2\sin(x_1+x_2)+l_1\sin x_1) - \dot{x}_2 l_2\sin(x_1+x_2) \ \dot{x}_1 (l_2\cos(x_1+x_2)+l_1\cos x_1) + \dot{x}_2 l_2\cos(x_1+x_2) \ 0 \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} -l_2\sin(x_1+x_2)-l_1\sin x_1 & -l_2\sin(x_1+x_2) & 0 & 0 & 0 & 0 \ l_2\cos(x_1+x_2)+l_1\cos x_1 & l_2\cos(x_1+x_2) & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \ \dot{x}_2 \ \dot{x}_3 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

因此，雅可比矩阵为：

$$ J = \begin{pmatrix} -l_2\sin(x_1+x_2)-l_1\sin x_1 & -l_2\sin(x_1+x_2) & 0 \ l_2\cos(x_1+x_2)+l_1\cos x_1 & l_2\cos(x_1+x_2) & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $