C++ 图论应用：用邻接矩阵实现比赛日程安排

这篇文章将介绍如何使用C++和图论中的邻接矩阵来解决比赛日程安排问题。

问题描述

假设有n个运动员参加m个比赛项目，每个运动员最多参加k个项目。比赛日程安排的目标是，用最少的比赛场次，安排所有运动员参加完他们所报名的项目。

解决方案

这个问题可以转化为图的顶点染色问题。我们可以将每个比赛项目看作图的一个顶点，如果两个比赛项目有共同的参赛运动员，则在这两个顶点之间添加一条边。这样，比赛日程安排问题就转化为了用最少的颜色对图进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。

代码实现

下面是用C++实现的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <windows.h>

using namespace std;

int map[49] = { 0 };

// 根据用户输入进行建图
void Create(int a[]) {
    for (int i = 0; i < 3; i++)
        for (int j = 0; j < 3; j++)
            if ((a[i] != a[j]) && (a[i] != 0) && (a[j] != 0)) {
                map[(a[i] - 1) * 7 + (a[j] - 1)] = 1;
            }
}

// 图结点
struct Node {
    int index; // 结点在矩阵中的行数即位置
    int degree; // 结点度数，用于根据从大到小的度数关系进行涂色
    int mark; // 结点染色标记
};

string name[] = { '标枪', '铅球', '铁饼', '100m', '200m', '跳远', '跳高' };

// 自定义'小于'
bool cmp(Node a, Node b) {
    return a.degree > b.degree;
}

// 创建可视化图表
void Print(vector <int>mark, int n, vector <Node>node, int Mark) {
    int a[10] = { 0 }; // 存储标记对应的项目数
    int b = 0, c = 1;
    for (int j = 0; j < mark.size(); j++) { // 同一标记对应项目数的赋值
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (node[i].mark == mark[j])
                a[j]++;
    }
    int max = a[0];
    for (int j = 0; j < mark.size() - 1; j++) { // 确定项目日程表中列数的最大值
        if (a[j + 1] > max)
            max = a[j + 1];
    }
    cout << '  _________________________________' << endl; // 实现项目日程的可视化
    for (int p = 0; p < Mark; p++) {
        cout << ' |        |        |       |       |' << endl;
        if (c == 1)
            cout <<  '|' <<  '|';
        else if (c == 2)
            cout <<  '|' <<  '|';
        else if (c == 3)
            cout <<  '|' <<  '|';
        else if (c == 4)
            cout <<  '|' <<  '|';
        else if (c == 5)
            cout <<  '|' <<  '|';
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (node[i].mark == c) {
                cout << name[node[i].index] << '    |';
                b++;
            }
        }
        if (b < max)
            for (int i = 0; i < max - b; i++)
                cout << '        |';
        b = 0;
        c++;
        cout << endl;
        cout << '  ------------------' << endl;
    }
}

// 涂色
int fillcolor(int map[], int n) {
    cout << '邻接矩阵' <<  endl;
    int Mark = 0;
    vector<int>mark; // 动态标记集
    vector<Node>node; // 动态结点集
    node.resize(n); // 为结点集分配空间
    for (int i = 0; i < n; i++) { // 统计图中结点的度
        node[i].degree = node[i].mark = 0; // 度数、标记均初始化为0
        node[i].index = i;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (map[i * n + j] == 1)
                node[i].degree++;
        }
    }
    sort(node.begin(), node.end(), cmp); // 将图结点降序排列

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < mark.size(); j++) { // 取染色集元素进行染色
            if (node[i].mark == 0)
                node[i].mark = mark[j];
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                if ((map[node[i].index * n + k] == 1) && (node[k].mark == node[i].mark)) { // 两结点相邻且颜色相同，取消标记
                    node[i].mark = 0;
                    break;
                }
            }
        }
        if (node[i].mark == 0) {
            mark.push_back(++Mark);
            node[i].mark = mark.back();
        }
    }
    Print(mark, n, node, Mark); // 创建可视化图表
    return Mark; // 返回所需场次
};

int main() {
    cout << '各项目对应编号为：标枪(1),铅球(2),铁饼(3),100m(4),200m(5),跳远(6),跳高(7) ' << endl;
    cout << '请依次将选手所报项目编号输入' << endl;
    int a[3] = { 0 };
    string b[5] = { '张三', '李四', '王五', '赵六', '李七' };
    for (int i = 0; i < 5; i++) {
        cout << '请输入 ' << b[i] << ' 所报项目编号：';
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            a[j] = cin.get() - 48;
            if (j == 2 && a[j] != -38)
                cin.get();
            else if (a[j] == -38) {
                a[j] = 0;
                break;
            }
        }
        Create(a);
    }
    for (int i = 0; i < 7; i++) {
        for (int j = 0; j < 7; j++)
            cout << map[i * 7 + j] << ' ';
        cout << endl;
    }
    int n = fillcolor(map, 7);
    cout << '将需要比赛' << n << '场' <<  endl;
    system('pause');
}

数据结构的选择

在这段代码中，采用了邻接矩阵来表示图的数据结构。邻接矩阵是一种二维数组，其中数组的行和列分别表示图的顶点，数组的值表示图的边的关系。

邻接矩阵的特点

邻接矩阵具有以下特点：

方便表示图的连接关系: 邻接矩阵中的每个元素表示两个顶点之间是否存在边，可以快速查找两个顶点之间的连接关系。
节省存储空间: 邻接矩阵只需要存储顶点之间的连接关系，不需要额外的空间存储顶点的其他属性，节省了存储空间。
方便进行图的遍历和操作: 邻接矩阵可以通过遍历二维数组的方式来遍历图的所有顶点和边，方便进行图的操作和算法实现。
适用于稠密图: 邻接矩阵适用于表示稠密图，即顶点之间的边比较多的图。对于稀疏图，邻接矩阵会浪费大量的空间。
不适用于动态图: 邻接矩阵在图的顶点和边的数量变化时，需要重新分配内存空间，不适用于动态图的表示。

总结

本文介绍了如何使用 C++ 和图论中的邻接矩阵来解决比赛日程安排问题。邻接矩阵是一种简单易懂的数据结构，适用于表示稠密图，方便进行图的遍历和操作。但是，邻接矩阵不适用于动态图，并且在表示稀疏图时会浪费大量的空间。