极限的乘法法则证明

假设有两个数列${a_n}$和${b_n}$，它们都有极限$a$和$b$，即$\lim_{n \to \infty} a_n = a$和$\lim_{n \to \infty} b_n = b$。现在我们来证明极限的乘法法则成立，即$\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = ab$。

证明：

我们先利用极限的定义，根据极限的性质，我们可以得到：

对于任意的$\epsilon > 0$，存在$N_1 > 0$，当$n > N_1$时，有$|a_n - a| < \epsilon / (2|b|)$；

对于任意的$\epsilon > 0$，存在$N_2 > 0$，当$n > N_2$时，有$|b_n - b| < \epsilon / (2|a|)$。

现在我们来看$a_nb_n$与$ab$的差值，有：

\begin{aligned} |a_nb_n - ab| &= |a_nb_n - ab_n + ab_n - ab| \ & \leq |a_nb_n - ab_n| + |ab_n - ab| \ & = |a_n||b_n - b| + |b||a_n - a| \ & < |a|\frac{\epsilon}{2|b|} + |b|\frac{\epsilon}{2|a|} \ & = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \ & = \epsilon \end{aligned}

因此，我们证明了极限的乘法法则成立，即$\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = ab$