极限四则运算证明

极限四则运算的证明可以通过极限的定义来完成。假设有两个数列 $a_n$ 和 $b_n$，它们的极限分别为 $A$ 和 $B$，那么：

1. 加法：$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$

证明：对于任意 $\epsilon>0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$|a_n-A|<\frac{\epsilon}{2}$ 和 $|b_n-B|<\frac{\epsilon}{2}$。因此，当 $n>N$ 时，$|a_n+b_n-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|\leq|a_n-A|+|b_n-B|<\epsilon$。根据极限的定义，$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$。

2. 减法：$\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=A-B$

证明：同样地，对于任意 $\epsilon>0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$|a_n-A|<\frac{\epsilon}{2}$ 和 $|b_n-B|<\frac{\epsilon}{2}$。因此，当 $n>N$ 时，$|a_n-b_n-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|\leq|a_n-A|+|b_n-B|<\epsilon$。根据极限的定义，$\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=A-B$。

3. 乘法：$\lim_{n\to\infty}(a_n\times b_n)=A\times B$

证明：同样地，对于任意 $\epsilon>0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$|a_n-A|<\sqrt{\epsilon}$ 和 $|b_n-B|<\sqrt{\epsilon}$。因此，当 $n>N$ 时，$|a_n\times b_n-A\times B|=|(a_n-A)\times b_n+A\times(b_n-B)+(a_n-A)\times(B-b_n)|\leq|a_n-A|\times|b_n|+|A|\times|b_n-B|+|a_n-A|\times\sqrt{\epsilon}<\epsilon$。根据极限的定义，$\lim_{n\to\infty}(a_n\times b_n)=A\times B$。

4. 除法：$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}$，假设 $B\neq 0$

证明：同样地，对于任意 $\epsilon>0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$|a_n-A|<\frac{\epsilon\times|B|}{2}$ 和 $|b_n-B|<\frac{\epsilon\times|B|}{2}$。因此，当 $n>N$ 时，$|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}|=\frac{|a_n\times B-A\times b_n|}{|b_n|\times|B|}\leq\frac{|a_n-A|\times|B|+|A|\times|b_n-B|}{|b_n|\times|B|}<\epsilon$。根据极限的定义，$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}$。

综上所述，极限四则运算成立