假设二维空间中有8个样本点分成以下两类。第1类：02-2035-3-5第2类：35138602。请计算两类样本的均值与协方差矩阵计算02与35分别在两类中的马氏距离。给出手写公式计算过程。

首先，计算第1类样本的均值和协方差矩阵：

均值向量：

$\boldsymbol{\mu}_1 = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$

协方差矩阵：

$\mathbf{\Sigma}_1 = \begin{bmatrix} 10 & 0 \ 0 & 25 \end{bmatrix}$

其中，10和25分别是样本在x轴和y轴的方差。

然后，计算第2类样本的均值和协方差矩阵：

均值向量：

$\boldsymbol{\mu}_2 = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix}$

协方差矩阵：

$\mathbf{\Sigma}_2 = \begin{bmatrix} 10.5 & 7 \ 7 & 3.5 \end{bmatrix}$

其中，10.5和3.5分别是样本在x轴和y轴的方差，7是它们的协方差。

接下来，计算(0,2)在两类中的马氏距离：

对于第1类样本：

$\mathbf{d}_1 = \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix}$

$D_1 = \sqrt{\mathbf{d}_1^T \mathbf{\Sigma}_1^{-1} \mathbf{d}_1} = \sqrt{\begin{bmatrix} 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.1 & 0 \ 0 & 0.04 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix}} = 1$

对于第2类样本：

$\mathbf{d}_2 = \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \ -2 \end{bmatrix}$

$D_2 = \sqrt{\mathbf{d}_2^T \mathbf{\Sigma}_2^{-1} \mathbf{d}_2} = \sqrt{\begin{bmatrix} -3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.105 & -0.07 \ -0.07 & 0.35 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \ -2 \end{bmatrix}} \approx 1.24$

因此，(0,2)在第1类中的马氏距离为1，在第2类中的马氏距离为1.24。

公式计算过程：

均值向量：

$\boldsymbol{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{x}_i$

协方差矩阵：

$\mathbf{\Sigma} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (\mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu})(\mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu})^T$

马氏距离：

$D = \sqrt{(\mathbf{d}^T \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{d})}$

其中，

$\mathbf{d} = \mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}