在Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝3BC＝4直线l经过点BAE⊥l于点ECF⊥l于点F则AE+CF的最大值为

根据勾股定理可知，$AB=5$。设$AE=x$，则$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{25-x^2}$。同理，设$CF=y$，则$BF=\sqrt{16-y^2}$。由三角形不等式可得： $$ \begin{aligned} AE+CF&=BE+BF-BE+CF \ &\leq BE+BF \ &=\sqrt{25-x^2}+\sqrt{16-y^2} \end{aligned} $$ 因此，问题转化为求$\sqrt{25-x^2}+\sqrt{16-y^2}$的最大值。根据柯西-施瓦茨不等式可得： $$ \begin{aligned} (\sqrt{25-x^2}+\sqrt{16-y^2})^2&\leq (1^2+1^2)(25-x^2+16-y^2) \ &=82- x^2-y^2 \end{aligned} $$ 最后，要使得$\sqrt{25-x^2}+\sqrt{16-y^2}$最大，只需让$x^2+y^2$最小。由于$AE\perp l$，$CF\perp l$，因此$AE\parallel CF$，所以$AE=CF$。同时，$AE+CF=AE+AE=2AE\leq AB=5$。因此，$x^2+y^2$的最小值为$(AE+CF)^2/2^2=(5/2)^2=6.25$。因此，$\sqrt{25-x^2}+\sqrt{16-y^2}\leq \sqrt{82-6.25}=\sqrt{75.75}$。综上所述，$AE+CF$的最大值为$\sqrt{75.75}$