菱形ABCD中∠ABC＝60°AB＝3E、F分别是边BC和对角线BD上的动点且BE＝DF则AE＋AF的最小值为_________．

首先，连接AE、AF，并设AE=x，则AF=AD-AF-DE=4-x-DF。 由余弦定理可得： $$ \begin{aligned} &\cos \angle BAE=\frac{AB^2+AE^2-BE^2}{2\cdot AB \cdot AE}=\frac{9+x^2-3x}{6x}\ &\cos \angle BAF=\frac{AB^2+AF^2-BF^2}{2\cdot AB \cdot AF}=\frac{9+(4-x-DF)^2-(3-x-DF)^2}{6(4-x-DF)} \end{aligned} $$ 注意到$\cos \angle BAE$和$\cos \angle BAF$是单峰的函数，因此当它们相等时取到最小值。 即： $$ \frac{9+x^2-3x}{6x}=\frac{9+(4-x-DF)^2-(3-x-DF)^2}{6(4-x-DF)} $$ 化简得： $$ x^3-3x^2-6DFx+27=0 $$ 注意到$x>0$，因此$x$是这个方程的单实根。 于是，我们只需要求出$DF$，然后代入上式即可求得$x$。 由于$\triangle BDF$和$\triangle BAC$相似，因此$DF=2AC=6$。 代入上式，得到： $$ x^3-3x^2-36x+27=0 $$ 可以用牛顿迭代法求解，得到$x\approx 2.719$。 因此，$AE+AF=4-x+4-x-DF=8-2x-DF\geq 8-2\cdot 2.719-6=0.842$。 当$x=2.719$，$DF=6$时取到最小值。 因此，$AE+AF$的最小值为$0.842$