△ABC为等腰三角形在△ABC中AC=BC=12CD⊥AB于点DE为AC边上一点造接BEDEBE交CD于O1若O为CD的中点求CE的长;2若ODOC=32求CE的长;3若∠ABC=60°直接写出 DE+12CE 的最小值

因为O是CD的中点，所以CO=OD=6。又因为△ABD∽△CBE，所以$\frac{CE}{BE}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{CE}{BE}=\frac{AD}{BD}$。又因为△ABD为等腰三角形，所以$AD=\frac{BD}{2}$。代入上式得$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$，又因为△CBE为等腰三角形，所以CE=BE，即CE=12.

设CE=x，由题意得OD=3/5×12=36/5，OC=2/5×12=24/5。因为△ABD∽△CBE，所以$\frac{CE}{BE}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{x}{12-x}=\frac{36/5}{24/5+x}$。解得x=48/13。

由余弦定理得$AB=\sqrt{144-144\cos60°}=12$。又因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形，所以BD=AB/2=6。因为△ABD∽△CBE，所以$\frac{CE}{BE}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{BD+DE}$。又因为△ADE为30-60-90三角形，所以AE=AD/2=3。代入上式得$\frac{CE}{BE}=\frac{3}{6+DE}$，即$\frac{CE}{12}=\frac{3}{6+DE}$。整理得$DE+\frac{1}{2}CE=6+\frac{9}{2(6+DE)}$。因为$DE>0$，所以$\frac{9}{2(6+DE)}\geq\frac{3}{2}$，即$6+\frac{9}{2(6+DE)}\geq\frac{33}{4}$。所以$DE+\frac{1}{2}CE\geq\frac{33}{4}$，当且仅当DE=3/2CE时取等，此时$DE+\frac{1}{2}CE=\frac{33}{4}$。所以DE+1/2CE的最小值为33/4