△ABC为等腰三角形在△ABC中AC=BC=12CD⊥AB于点DE为AC边上一点连接BEDEBE交CD于O1若O为CD的中点求CE的长;2若ODOC=32求CE的长;3若∠ABC=60°直接写出 DE+12CE 的最小值

1. 由题意可知，若O为CD的中点，则OD=DC=6。又因为△ABC为等腰三角形，所以AD=BD=√(AC^2-AB^2/4)=√(144-36/4)=6√3。由此可知△AED与△BEC相似，因此有：

CE/BE=DE/AD

代入CE+BE=12得：

CE=(DE/AD)/(1+DE/AD)×12

又因为BE/CE=DC/DE，代入BE=12-CE和DE=CE×DC/BE可得：

CE=8√3

2. 由OD:OC=3:2可知OD=3/5×DC=3/5×12=36/5。同理可得AD=6√3，BD=6√3，DE=CE×DC/BE，BE=12-CE。代入CE+BE=12，整理可得：

CE^2-12CE+72=0

解得CE=6+2√3或CE=6-2√3。因为CE<12/2=6，所以CE=6-2√3。

3. 由题意可知，DE+1/2CE=DE+1/2(12-DE)=6+1/2CE。根据余弦定理，有：

cosA=(AC^2+AB^2-BC^2)/(2×AC×AB)=3/4

因为∠ABC=60°，所以∠ACB=∠ABC=60°，进而可知：

cosC=cos(180°-2A)=2cos^2A-1=-1/2

由余弦定理可得：

DE^2=AC^2-AD^2=144-36=108

代入上面的式子可得：

DE+1/2CE=6+1/2CE≥2√DE×1/2=2√27

所以DE+1/2CE的最小值为2√27