=E_z~p_zzbuildrel xover x~~p_databuildrel xover x~DGzbuildrel xover x~buildrel xover x~^2-2DGzbuildrel xover x~buildrel xover x~+1公式推导

首先，我们需要知道 $D$ 的定义：

$D$ 是一个判别器函数，它将一个样本 $(x,y)$ 映射到一个实数值 $D(x,y)$，表示该样本是真实数据的概率。

接下来，我们将推导公式。首先，我们需要了解一些概率论的基础知识：

期望值的定义：对于一组随机变量 $X_1,X_2,\dots,X_n$，期望值 $\mathbb{E}[f(X)]$ 定义为 $f(X)$ 的加权平均值，其中权重是每个 $X$ 发生的概率。具体地，期望值可以表示为：

$$\mathbb{E}[f(X)] = \sum_{i=1}^n f(X_i) p(X_i)$$

其中，$p(X_i)$ 表示 $X_i$ 发生的概率。

现在，我们来推导公式：

$$\begin{aligned} &E_{z\sim p_z(z),\buildrel x\over x\sim p_{data}(\buildrel x\over x)}[D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)^2-2D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)+1]\ =&\sum_{z}\sum_{\buildrel x\over x}p_z(z)p_{data}(\buildrel x\over x)[D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)^2-2D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)+1]\ =&\sum_{z}\sum_{\buildrel x\over x}p_z(z)p_{data}(\buildrel x\over x)[D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)^2-2D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)+D(\buildrel x\over x,\buildrel x\over x)]\ =&\sum_{z}\sum_{\buildrel x\over x}p_z(z)p_{data}(\buildrel x\over x)[D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)^2-D(\buildrel x\over x,\buildrel x\over x)]\ =&\mathbb{E}{z\sim p_z(z),\buildrel x\over x\sim p{data}(\buildrel x\over x)}[D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)^2-D(\buildrel x\over x,\buildrel x\over x)]\ \end{aligned}$$

其中，第一步到第二步是因为 $D(\buildrel x\over x,\buildrel x\over x) = 1$，第二步到第三步是因为加上了一项 $D(\buildrel x\over x,\buildrel x\over x)$ 后，我们可以将 $2D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)$ 分解为 $D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x) + D(\buildrel x\over x,\buildrel x\over x)$。

因此，最终得到公式：

$$E_{z\sim p_z(z),\buildrel x\over x\sim p_{data}(\buildrel x\over x)}[D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)^2-2D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)+1] = \mathbb{E}{z\sim p_z(z),\buildrel x\over x\sim p{data}(\buildrel x\over x)}[D(G(z,\buildrel x\over x),\buildrel x\over x)^2-D(\buildrel x\over x,\buildrel x\over x)]$