如果int_0^T int_Omega u^fracm + 12 _tdxdt有界其中m1能推出int_0^T int_Omega u _tdxdt有界吗？

不能推出。我们可以构造一个反例：

考虑一个一维空间区间$[0,1]$上的函数$u(x,t)$，满足$u(x,0) = 1, u(x,t) = (1+t)^{-\frac{2}{m-1}}$，其中$m>1$。显然，$u(x,t)$是非负的、单调递减的，并且满足$\lim_{t\rightarrow \infty} u(x,t) = 0$。因此，$\int_0^T \int_\Omega {u_t^{\frac{m+1}{2}}} dx dt$是有界的。

但是，我们计算$\int_0^T \int_\Omega u_t dx dt$：

$$\begin{aligned} \int_0^T \int_\Omega u_t dx dt &= \int_0^T \frac{d}{dt} \int_\Omega u dx dt \ &= \int_0^T \frac{d}{dt} \int_0^1 u(x,t) dx dt \ &= \int_0^T \frac{d}{dt} \int_0^1 (1+t)^{-\frac{2}{m-1}} dx dt \ &= \int_0^T (-\frac{2}{m-1})(1+t)^{-\frac{2+m}{m-1}} dt \ &= \frac{m-1}{m+1}(1+T)^{-\frac{m+1}{m-1}} - \frac{m-1}{m+1} \end{aligned}$$

由于$\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{m-1}{m+1}(1+T)^{-\frac{m+1}{m-1}} = 0$，因此$\int_0^T \int_\Omega u_t dx dt$不是有界的。因此，我们可以得出结论：$\int_0^T \int_\Omega u_t^{\frac{m+1}{2}} dx dt$有界不能推出$\int_0^T \int_\Omega u_t dx dt$有界