利用容斥原理确定方程x1+x2+x3+x4=17的整数解的个数其中xii=1 2 3 4是非负整数并满足条件x1≤3

首先考虑不考虑限制条件x1≤3时，方程x1+x2+x3+x4=17的整数解个数为： $${16+4-1\choose 4-1}={19\choose 3}=969$$ 然后考虑限制条件x1≤3，设A为不考虑限制条件时的解集，B为x1>3时的解集。则所求的整数解个数为： $$|A|-|B|$$ 其中，|A|为不考虑限制条件时的解数，已经算出为969。而|B|则可以通过容斥原理求得： $$|B|=|{x_1>3}|=|{x_1'}|=|{x_1''}|=|{x_1'''}|$$ 其中，${x_1'>3}$表示x1'>3的方程x1'+x2+x3+x4=17的整数解集，${x_1''}$表示x1''>3的方程(x1''-4)+x2+x3+x4=17的整数解集，${x_1'''}$表示x1'''>3的方程(x1'''-8)+x2+x3+x4=17的整数解集。这三个方程的解集个数分别为： $${12+4-1\choose 4-1}={15\choose 3}=455$$ $${8+4-1\choose 4-1}={11\choose 3}=165$$ $${4+4-1\choose 4-1}={7\choose 3}=35$$ 由于这三个方程的解集互不相交，因此有： $$|B|=455+165+35=655$$ 综上所述，所求的整数解个数为： $$|A|-|B|=969-655=\boxed{314}$