如图在△ABC中AC=BC=12CD⊥AB于点DE为AC边上一点造接BEDEBE交CD于O1若O为CD的中点求CE的长;2着OD0C=32求CE的长;3着LABC=60°直接写出 DE+12CE 的最小值

首先，连线AC、BD，可得到以下图形：

[asy] size(120); draw((0,0)--(9,0)--(4.5,7.794)--cycle); draw((4.5,7.794)--(0,0)); draw((4.5,7.794)--(9,0)); draw((4.5,7.794)--(2.25,0)); draw((2.25,0)--(9,0),dashed); label("$A$",(0,0),SW); label("$B$",(9,0),SE); label("$C$",(4.5,7.794),N); label("$D$",(2.25,0),S); label("$E$",(4.5,0),S); label("$O$",(3.375,3.897),W); label("$F$",(6.75,3.897),E); [/asy]

1. 若$O$为$CD$的中点，则$OD=OC=\dfrac{1}{2}CD$。由于$\angle BDC=90^\circ$，故$BD^2=BC^2-CD^2=144-CD^2$，而$BD=DE+BE$，因此$(DE+BE)^2=144-CD^2$，即$(DE+BE)^2+CD^2=144$。又由于$O$为$CD$的中点，所以$OD^2=OE\cdot OB$，即$\left(\dfrac{1}{2}CD\right)^2=OE\cdot (BE+BD)$，即$\dfrac{1}{4}CD^2=(DE+BE)^2$，代入上式可得$DE=\dfrac{1}{4}CD$，$BE=\dfrac{3}{4}CD$。因此，$CE=BE-BC=-12$。

2. 设$OD=3x$，$OC=2x$，则$CD=5x$。同样地，由于$OD^2=OE\cdot OB$，可得$OE=\dfrac{9}{4}x^2$，由勾股定理可得$BD=\dfrac{3}{4}\cdot 5x=\dfrac{15}{4}x$。又由于$BD=DE+BE$，可得$DE=\dfrac{3}{4}\cdot BD=\dfrac{45}{16}x$，$BE=\dfrac{1}{4}\cdot BD=\dfrac{15}{16}x$。因此，$CE=BE-BC=-\dfrac{33}{4}$。

3. 设$DE=x$，$CE=y$，则$BE=12-y$。由cos定理可得$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos \angle BCD=144-36\cos \angle BCD$，而$BD^2=(12-y)^2+x^2$，因此$(12-y)^2+x^2=144-36\cos \angle BCD$，即$x^2+y^2-24y+36=36-36\cos \angle BCD$，即$x^2+y^2-24y=36\cos \angle BCD$。因为$y\geq 0$，所以$x^2+y^2\geq y^2$，故$x^2+y^2-24y\geq y^2-24y=-12^2$。于是$x^2+y^2-24y\geq -12^2$，即$x^2+y^2\geq 24y-12^2$。因此，$DE+ \dfrac{1}{2}CE=x\ + \ \dfrac{1}{2}y \geq x+\dfrac{1}{2}(24y-12^2)=12y-6^2$。当$y=6$时，$DE+\dfrac{1}{2}CE$取得最小值$-9$