在△ABC中AC=BC=12CD⊥AB于点DE为AC边上一点造接BEDEBE交CD于O1若O为CD的中点求CE的长;2着OD0C=32求CE的长;3着LABC=60°直接写出 DE+12CE 的最小值

由题意可知，若$O$为$CD$的中点，则$OD=OC=\frac{1}{2}CD$. 又因为$O$在$BE$上，所以$OD:OE=BD:BE=1:2$. 于是可得$OE=2OD=\frac{1}{2}CD$. 由勾股定理可知$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=2\sqrt{3}$. 又因为$\triangle ADE\sim\triangle BEO$，所以$\frac{DE}{BE}=\frac{AD}{BE}=\frac{2\sqrt{3}}{BE}$，即$DE=\frac{2\sqrt{3}}{BE}\cdot CE$. 又因为$CD\parallel BE$，所以$\triangle BEO\sim\triangle CDO$，于是$\frac{CE}{CD}=\frac{BE}{BD}=\frac{BE}{\sqrt{BC^2-CD^2}}=\frac{BE}{\sqrt{144-CD^2}}$，即$CE=\frac{BE\cdot CD}{\sqrt{144-CD^2}}$. 将$DE=\frac{2\sqrt{3}}{BE}\cdot CE$代入$BE\cdot CD=2CE\cdot OD$中，整理可得$BE=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，$CE=\frac{24}{\sqrt{5}}$.

由题意可设$OD=3x, OC=2x$，于是$CD=5x$. 又因为$O$在$BE$上，所以$OD:OE=BD:BE=1:2$，即$OE=2OD=6x$. 由勾股定理可知$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=6\sqrt{3}$. 又因为$\triangle ADE\sim\triangle BEO$，所以$\frac{DE}{BE}=\frac{AD}{BE}=\frac{6\sqrt{3}}{BE}$，即$DE=\frac{6\sqrt{3}}{BE}\cdot CE$. 又因为$CD\parallel BE$，所以$\triangle BEO\sim\triangle CDO$，于是$\frac{CE}{CD}=\frac{BE}{BD}=\frac{BE}{\sqrt{BC^2-CD^2}}=\frac{BE}{\sqrt{144-25x^2}}$，即$CE=\frac{BE\cdot CD}{\sqrt{144-25x^2}}$. 将$DE=\frac{6\sqrt{3}}{BE}\cdot CE$代入$BE\cdot CD=2CE\cdot OD$中，整理可得$BE=\frac{12\sqrt{3}}{5x}$，$CE=\frac{72x}{5\sqrt{3}}$. 代入$OD:OC=3:2$可得$x=\frac{2}{7}$，因此$CE=\frac{24\sqrt{21}}{35}$.

由勾股定理可知$AD=2\sqrt{3}$，$\angle ADE=90^\circ-\angle ABC=30^\circ$，所以$DE=\sqrt{3}$. 由于$\triangle BEO\sim\triangle CDO$，所以$\frac{CE}{CD}=\frac{BE}{BD}=\frac{BE}{\sqrt{BC^2-CD^2}}=\frac{BE}{6}$，即$CE=\frac{BE\cdot CD}{6}$. 又因为$E$在$AC$上，所以$AE+EC=AC=12$，即$AE=12-CE$. 于是$DE+\frac{1}{2}CE=\sqrt{3}+\frac{1}{2}\cdot CE+\frac{2\sqrt{3}}{AE}\cdot CE=\sqrt{3}+\frac{1}{2}\cdot CE+\frac{2\sqrt{3}}{12-CE}\cdot CE$. 令$f(x)=\sqrt{3}+\frac{1}{2}x+\frac{2\sqrt{3}}{12-x}\cdot x$，则$f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{(12-x)^2}$，令$f'(x)=0$可得$x=4\sqrt{3}$，此时$f(x)$达到最小值，为$4\sqrt{3}+\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{12-4\sqrt{3}}\cdot 4\sqrt{3}=2\sqrt{3}+4\sqrt{21}-9\sqrt{3}=4\sqrt{21}-7\sqrt{3}$