定积分求极限

这里提供一个简单的例子：

求 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sqrt{1+\frac{i^2}{n^2}}$。

解法：

首先将求和式转化为定积分的形式：

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sqrt{1+\frac{i^2}{n^2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)\approx\int_0^1 f(x)dx$$

其中 $f(x)=\sqrt{1+x^2}$。因此，我们只需要求出 $\int_0^1 f(x)dx$ 的值即可。

将 $f(x)$ 的积分拆成两个部分：

$$\int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 \sqrt{1+x^2}dx=\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx+\int_0^1 x^2\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$$

对第一个积分进行代换 $x=\tan t$，有：

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos t}dt=\left[\ln(\cos t+\sin t)\right]_0^{\frac{\pi}{4}}=\ln(1+\sqrt{2})$$

对第二个积分进行代换 $x=\sinh t$，有：

$$\int_0^1 x^2\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int_0^{\ln(\sqrt{2}+1)} \frac{1}{2}\sinh^2 t dt=\frac{1}{4}\left[\sinh t(\cosh t-t)\right]_0^{\ln(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{4}$$

因此，

$$\int_0^1 f(x)dx=\ln(1+\sqrt{2})+\frac{\sqrt{2}-1}{4}$$

最终得到：

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sqrt{1+\frac{i^2}{n^2}}=\int_0^1 f(x)dx\approx 1.1478$