x-2y+z=2 与三个坐标面围成四面体体积 完整计算过程

首先将方程化为标准式：

x - 2y + z = 2

即

x = 2y - z + 2

四面体的顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,-1,0)和(0,0,2)。

设四面体的底面为△ABC，其中A(2,0,0)，B(0,-1,0)，C(0,0,0)。

则△ABC的面积为：

S(△ABC) = 1/2 * AB * AC

= 1/2 * √[(2-0)² + (0-(-1))² + (0-0)²] * √[(0-0)² + (-1-0)² + (0-0)²]

= √5/2

设四面体的高为h，则

h = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²)

将四个点代入方程x - 2y + z = 2，得到：

h1 = |2 - 2*0 + 0 - 2| / √(1² + (-2)² + 1²) = 2√6/3

h2 = |0 - 2*(-1) + 0 - 2| / √(1² + (-2)² + 1²) = 2√6/3

h3 = |0 - 2*0 + 2 - 2| / √(1² + (-2)² + 1²) = 2√6/3

h4 = |0 - 0 + 0 - 2| / √(1² + (-2)² + 1²) = 2/√6

因此，四面体的体积为：

V = 1/3 * S(△ABC) * h

= 1/3 * √5/2 * (2√6/3 + 2√6/3 + 2√6/3 + 2/√6)

= √6/4

因此，该四面体的体积为√6/4