有一个呼吸心率混合信号如何通过呼吸字典与心率字典分别稀疏重构恢复得到对应的原始信号具体写一下数学推导过程

假设呼吸心率混合信号为 $x(t)$，呼吸信号为 $r(t)$，心率信号为 $h(t)$，则有：

$$ x(t) = r(t) + h(t) $$

其中，$r(t)$ 和 $h(t)$ 为稀疏信号，即它们的大部分系数为零。假设呼吸信号的稀疏系数为 $a_r$，心率信号的稀疏系数为 $a_h$，则有：

$$ r(t) = \sum_{i=1}^{N_r} a_{ri}\phi_i(t) $$

$$ h(t) = \sum_{j=1}^{N_h} a_{hj}\psi_j(t) $$

其中，$\phi_i(t)$ 和 $\psi_j(t)$ 分别为呼吸字典和心率字典中的基函数，$N_r$ 和 $N_h$ 分别为呼吸字典和心率字典中基函数的数量。

将上述式子代入原始方程，得到：

$$ x(t) = \sum_{i=1}^{N_r} a_{ri}\phi_i(t) + \sum_{j=1}^{N_h} a_{hj}\psi_j(t) $$

我们可以使用稀疏表示来解决这个问题，即找到呼吸信号和心率信号的稀疏系数，然后用这些系数对呼吸字典和心率字典进行线性组合，得到对应的重构信号。

具体地，我们可以使用 L1 正则化方法来求解稀疏系数。假设通过信号采样得到的呼吸心率混合信号为 $x_0$，则有：

$$ \min_{a_r,a_h} ||x_0 - \sum_{i=1}^{N_r} a_{ri}\phi_i(t) - \sum_{j=1}^{N_h} a_{hj}\psi_j(t)||_2^2 + \lambda(||a_r||_1 + ||a_h||_1) $$

其中，$\lambda$ 为正则化参数。该优化问题可以使用基于迭代阈值算法的方法来求解。

最终，通过呼吸字典和心率字典分别稀疏重构，即可得到对应的原始信号