开边界和周期边界下的哈密顿量

在统计物理中，哈密顿量描述了系统的总能量，包括动能和势能。在开边界和周期边界下，哈密顿量的形式略有不同。

1. 开边界下的哈密顿量

在开边界下，系统没有周期性边界，因此哈密顿量可以写成：

$H = \sum_{i=1}^{N} \frac{p_i^2}{2m} + V(x_1, x_2, ..., x_N)$

其中，$p_i$ 是第 $i$ 个粒子的动量，$m$ 是粒子的质量，$V$ 是势能函数，$x_i$ 是第 $i$ 个粒子的位置。

2. 周期边界下的哈密顿量

在周期边界下，系统的边界是周期性的，因此哈密顿量可以写成：

$H = \sum_{i=1}^{N} \frac{p_i^2}{2m} + V(x_1, x_2, ..., x_N) + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} U(x_i - x_j)$

其中，$U$ 是周期性势能函数，表示粒子之间的相互作用。在周期边界下，$x_i$ 的取值范围是 $[0,L]$，其中 $L$ 表示系统的边长。如果两个粒子的距离 $|x_i - x_j|$ 超过了 $L/2$，则将其视为距离为 $L - |x_i - x_j|$ 的粒子。这种处理方式确保了系统的周期性